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ou bien, en négligeant le terme infiniment petit ${\frac {g}{i}},$ et remettant pour $g$ sa valeur $f+1$

${\frac {\upsilon ^{2f+1}}{i^{\lambda +2}\varpi ^{\lambda }(\upsilon -1)^{2f+3}\mu \nu \pi \ldots }}.$

41. Donc, si l’on fait

${\begin{aligned}\mathrm {M} =&{\frac {\upsilon ^{2f+1}}{\varpi ^{\lambda }(\upsilon -1)^{2f+3}\mu \nu \pi \ldots }},\\\mathrm {N} =&\upsilon \left({\frac {\upsilon \alpha }{\upsilon -1}}\right)^{\upsilon -1}\left({\frac {\mathrm {A} }{\mu }}\right)^{\mu }\left({\frac {\mathrm {B} }{\nu }}\right)^{\nu }\left({\frac {\mathrm {C} }{\pi }}\right)^{\pi }\ldots ,\end{aligned}}$

on aura, pour un terme quelconque de la valeur de

${\frac {1}{1.2.3\ldots i.\alpha ^{i}}}{\frac {d^{i-1}\left[\varphi (\alpha y)^{i}\psi '(y)\right]}{dy^{i-1}}}$

lorsque $i$ est infiniment grand, cette expression fort simple

${\frac {\mathrm {F{\sqrt {M}}.N} ^{i}}{i^{\frac {\lambda +2}{2}}}}$

dans laquelle $\lambda$ est le nombre des termes de la fonction $\varphi (x),$ et où $\mu ,\nu ,\pi ,\ldots$ sont des nombres quelconques positifs, tels que

$\mu +\nu +\pi +\ldots =1$

et

$a\mu +b\nu +c\pi +\ldots =\upsilon .$

Ainsi cette quantité sera infinie ou nulle, suivant que $\mathrm {N}$ aura une valeur, soit positive ou négative, plus grande que l’unité, ou non.

D’où il est aisé de conclure que la série qui représentera la valeur de $\psi \left({\frac {x}{\alpha }}\right)$ (37), sera convergente si l’on a, abstraction faite du signe,

$\mathrm {N} =\quad {\text{ou}}\quad <1\,;$

autrement elle sera divergente.

Or, comme la quantité $\mathrm {N}$ dépend seulement des coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ et des exposants $a,b,c,\ldots$ qui entrent dans l’expression de la fonction