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à trois, on trouvera ces neuf-ci, en mettant $\Delta$ à la place de la quantité $xy'z''+yz'x''+\ldots$ (3)

${\begin{alignedat}{3}x\xi +x'\xi '+x''\xi ''=&\Delta ,\quad &y\xi +y'\xi '+y''\xi ''=&0,\quad &z\xi +z'\xi '+z''\xi ''=&0,\\x\eta +x'\eta '+x''\eta ''=&0,&y\eta +y'\eta '+y''\eta ''=&\Delta ,&z\eta +z'\eta '+z''\eta ''=&0,\\x\zeta +x'\zeta '+x''\zeta ''=&0,&y\zeta +y'\zeta '+y''\zeta ''=&0,&z\zeta +z'\zeta '+z''\zeta ''=&\Delta \,;\end{alignedat}}$

et l’on trouvera de même ces neuf autres-ci

${\begin{alignedat}{3}x\xi \ \ +y\eta \ \ +z\zeta \ \ =&\Delta ,\quad &x'\xi \ \ +y'\eta \ \ +z'\zeta \ \ =&0,\quad &x''\xi \ \ +y''\eta \ \ +z''\zeta \ \ =&0,\\x\xi '\ +y\eta '\,+z\zeta '\ =&0,&x'\xi '\ +y'\eta '\,+z'\zeta '\ =&\Delta ,&x''\xi '\ +y''\eta '\,+z''\zeta '\ =&0,\\x\xi ''+y\eta ''+z\zeta ''=&0,&x'\xi ''+y'\eta ''+z'\zeta ''=&0,&x''\xi ''+y''\eta ''+z''\zeta ''=&\Delta .\end{alignedat}}$

8. De plus, si l’on ajoute ensemble trois à trois les neuf premières équations du numéro précédent après les avoir multipliées respectivement par $\xi ,\eta ,\zeta ,$ ensuite par $\xi ',\eta ',\zeta ',$ et enfin par $\xi '',\eta '',\zeta '',$ on aura, en vertu des six dernières équations du n^o 1,

${\begin{array}{lll}\xi \ \ ={\dfrac {\alpha x+\beta ''x'+\beta 'x''}{\Delta }},&\eta \ \ ={\dfrac {\alpha y+\beta ''y'+\beta 'y''}{\Delta }},&\zeta \ \ ={\dfrac {\alpha z+\beta ''z'+\beta 'z''}{\Delta }},\\\xi '\ ={\dfrac {\beta ''x+\alpha 'x'+\beta x''}{\Delta }},&\eta '\ ={\dfrac {\beta ''y+\alpha 'y'+\beta y''}{\Delta }},&\zeta '\ ={\dfrac {\beta ''z+\alpha 'z'+\beta z''}{\Delta }},\\\xi ''={\dfrac {\beta 'x+\beta x'+\alpha ''x''}{\Delta }},&\eta ''={\dfrac {\beta 'y+\beta y'+\alpha ''y''}{\Delta }},&\zeta ''={\dfrac {\beta 'z+\beta z'+\alpha ''z''}{\Delta }}.\end{array}}$

Et, si au lieu de multiplier les mêmes équations par $\xi ,\eta ,\zeta ,\xi ',\ldots ,$ on les multiplie respectivementpar $x,y,z,x',\ldots ,$ et qu’on les ajoute de même trois à trois, on aura ces neuf autres-ci

${\begin{array}{lll}x\ \ ={\dfrac {a\xi +b''\xi '+b'\xi ''}{\Delta }},&y\ \ ={\dfrac {a\eta +b''\eta '+b'\eta ''}{\Delta }},&z\ \ ={\dfrac {a\zeta +b''\zeta '+b'\zeta ''}{\Delta }},\\x'\ ={\dfrac {b''\xi +a'\xi '+b\xi ''}{\Delta }},&y'\ ={\dfrac {b''\eta +a'\eta '+b\eta ''}{\Delta }},&z'\ ={\dfrac {b''\zeta +a'\zeta '+b\zeta ''}{\Delta }},\\x''={\dfrac {b'\xi +b\xi '+a''\xi ''}{\Delta }},&y''={\dfrac {b'\eta +b\eta '+a''\eta ''}{\Delta }},&z''={\dfrac {b'\zeta +b\zeta '+a''\zeta ''}{\Delta }}.\end{array}}$

Ces relations entre les quantités $x,x',x'',y,\ldots$ et leurs correspondantes $\xi ,\xi ',\xi '',\eta ,\ldots$ sont très-remarquableset peuvent être utiles dans différentes occasions.