5. De plus, comme on a (3)
![{\displaystyle xy'z''+yz'x''+zx'y''-xz'y''-yx'z''-zy'x''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7712745c69f55d46ed6f9589bf5495dabc084a2a)
![{\displaystyle ={\sqrt {aa'a''+2bb'b''-ab^{2}-a'b'^{2}-a''b''^{2}}}=\Delta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ef5490935eb5bfe11972bea5833a3c084911e92)
et qu’il y a entre les quantités
et
les mêmes relations qu’entre les quantités
et
(1), on aura donc aussi
![{\displaystyle \xi \eta '\zeta ''+\eta \zeta '\xi ''+\zeta \xi '\eta ''-\xi \zeta '\eta ''-\eta \xi '\zeta ''-\zeta \eta '\xi ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6d4ee8c306d4b1e7c11b7ac1d9281af261fdeff)
![{\displaystyle ={\sqrt {\alpha \alpha '\alpha ''+2\beta \beta '\beta ''-\alpha \beta ^{2}-\alpha '\beta '^{2}-\alpha ''\beta ''^{2}}}=\Delta ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfbe13ded5e3877065b5049934d6eeb38e5a3d7b)
Donc on aura cette équation identique et très-remarquable
![{\displaystyle \xi \eta '\zeta ''+\eta \zeta '\xi ''+\zeta \xi '\eta ''-\xi \zeta '\eta ''-\eta \xi '\zeta ''-\zeta \eta '\xi ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6d4ee8c306d4b1e7c11b7ac1d9281af261fdeff)
![{\displaystyle =\left(xy'z''+yz'x''+zx'y''-xz'y''-yx'z''-zy'x''\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35d88de3a91052361d9769cdfe4d472030eed64b)
6. Si les six quantités
étaient données et qu’on voulût déterminer par leur moyen les six quantités
il serait peut-être très-difficile d’en venir à bout à l’aide des six équations du no 1 entre ces quantités ; mais on y parviendrait aisément par les formules des numéros suivants.
On formera pour cela les six quantités
(2) ; ensuite on formera la quantité (4)
![{\displaystyle \Delta ^{2}={\sqrt {\alpha \alpha '\alpha ''+2\beta \beta '\beta ''-\alpha \beta ^{2}-\alpha '\beta '^{2}-\alpha ''\beta ''^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a366a8fed46763091fc9fc21bc8b5da0e2a514fb)
et l’on aura sur-le-champ (3)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}a=&{\frac {\mathrm {A} }{\Delta ^{2}}},&\quad a'=&{\frac {\mathrm {A} '}{\Delta ^{2}}},&\quad a''=&{\frac {\mathrm {A} ''}{\Delta ^{2}}},\\b=&{\frac {\mathrm {B} }{\Delta ^{2}}},&b'=&{\frac {\mathrm {B} '}{\Delta ^{2}}},&b''=&{\frac {\mathrm {B} ''}{\Delta ^{2}}}.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17c1f3bb075cd0bd329c8c5c820bde78ea9e1194)
7. Si l’on multiplie les neuf premières équations du no 1 respectivement par
et qu’on les ajoute ensemble trois