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donc mettant ces valeurs dans les dernières équations ci-dessus, on aura, en vertu des six équations supposées dans le n^o 1,

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {A} \ \ =&\Delta ^{2}a,&\mathrm {B} \ \ =&\Delta ^{2}b,\\\mathrm {A} '\ =&\Delta ^{2}a',&\mathrm {B} '\ =&\Delta ^{2}b',\\\mathrm {A} ''=&\Delta ^{2}a'',\qquad &\mathrm {B} ''=&\Delta ^{2}b'',\end{alignedat}}$

et de là il est facile de tirer la valeur de $\Delta ^{2}$ en $a,a',a'',b,\ldots \,;$ car on aura d’abord

$\Delta ^{2}={\frac {\mathrm {A} }{a}}={\frac {\alpha '\alpha ''-\beta ^{2}}{a}},$

et, substituant les valeurs de $\alpha ',\alpha '',\beta$ en $a,a',\ldots$ (1),

$\Delta ^{2}=aa'a''+2bb'b''-ab^{2}-a'b'^{2}-a''b''^{2}\,;$

on trouvera la même valeur de $\Delta ^{2}$ par les autres équations. Si l’on remet dans cette équation les quantités $x,y,z,x',\ldots ,$ on aura la même équation identique que nous avons donnée dans le Lemme ci-dessus^[1].

4. Il est bon de remarquer que la valeur de $\Delta ^{2}$ peut aussi se mettre sous cette forme

$\Delta ^{2}={\frac {\alpha a+\alpha 'a'+\alpha ''a''+2\left(\beta b+\beta 'b'+\beta ''b''\right)}{3}}\,;$

or si l’on multiplie cette équation par $\Delta ^{2}$ et qu’on y substitue ensuite $\mathrm {A}$ à la place de $\Delta ^{2}a,$ $\mathrm {A} '$ à la place de $\Delta ^{2}a',$ et ainsi de suite (numéro précédent), on aura

$\Delta ^{4}=\mathrm {\frac {A\alpha +A'\alpha '+A''\alpha ''+2\left(B\beta +B'\beta '+B''\beta ''\right)}{3}} ,$

ou bien en mettant pour $\mathrm {A,A'} ,\ldots$ leurs valeurs en $\alpha ,\alpha ',\ldots$ (2)

$\Delta ^{4}=\alpha \alpha '\alpha ''+2\beta \beta '\beta ''-\alpha \beta ^{2}-\alpha '\beta '^{2}-\alpha ''\beta ''^{2}\,;$

d’où l’on voit que la quantité $\Delta ^{2}$ et son carré $\Delta ^{4}$ sont des fonctions semblables, l’une de $a,a',a'',b,b',b'',$ l’autre de $\alpha ,\alpha ',\alpha '',\beta ,\beta ',\beta ''.$

1. Ce Lemme est la première des propositions du Mémoire relatif au mouvement de rotation d’un corps solide. Voir à la page 580 de ce volume.
   (Note de l’Éditeur.)