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la quantité proposée

${\frac {(u+f)(u+f-1)(u+f-2)\ldots (u+f-i+2)}{1.2.3\ldots m\times 1.2.3\ldots n\times 1.2.3\ldots p\times \ldots }}\mathrm {F} .\mathrm {A} ^{m}\mathrm {B} ^{n}\mathrm {C} ^{p}\ldots \alpha ^{u-i}.$

deviendra, lorsque $i=\infty ,$

$\mathrm {F{\sqrt {V}}} \times {\frac {(u+g)^{u}\mathrm {A} ^{m}\mathrm {B} ^{n}\mathrm {C} ^{p}\ldots \alpha ^{u-i}}{(u+g-i)^{u-i}m^{m}n^{n}p^{p}\ldots }}.$

40. Supposons maintenant

${\frac {m}{i}}=\mu ,\quad {\frac {n}{i}}=\nu ,\quad {\frac {p}{i}}=\pi ,\ldots \quad {\frac {u}{i}}=\upsilon ,$

et l’on aura, à cause de $m+n+p+\ldots =i$ et $am+bn+cp+\ldots =u,$

$\mu +\nu +\pi +\ldots =1,$

$\mu a+\nu b+\pi c+\ldots =\upsilon ,$

d’où l’on voit que les nombres $\mu ,\nu ,\pi ,\ldots$ seront des fractions plus petites que l’unité ; donc, faisant ces substitutions dans l’expression

${\frac {(u+g)^{u}\mathrm {A} ^{m}\mathrm {B} ^{n}\mathrm {C} ^{p}\ldots \alpha ^{u-i}}{(u-i+g)^{u-i}m^{m}n^{n}p^{p}\ldots }},$

elle deviendra, en divisant le haut et le bas par $i^{u},$

$\left[{\frac {\left(\upsilon +{\dfrac {g}{i}}\right)^{\upsilon }\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {B} ^{\nu }\mathrm {C} ^{\pi }\ldots \alpha ^{\upsilon -1}}{\left(\upsilon -1+{\dfrac {g}{i}}\right)^{\upsilon -1}\mu ^{\mu }\nu ^{\nu }\pi ^{\pi }\ldots }}\right]^{i},$

ou bien, en négligeant le terme ${\dfrac {g}{i}}$ qui devient nul lorsque $i=\infty ,$

$\left[{\frac {\upsilon ^{\upsilon }\alpha ^{\upsilon -1}\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {B} ^{\nu }\mathrm {C} ^{\pi }\ldots }{(\upsilon -1)^{\upsilon -1}\mu ^{\mu }\nu ^{\nu }\pi ^{\pi }\ldots }}\right]^{i}.$

Par les mêmes substitutions la quantité $\mathrm {V}$ deviendra, en divisant le haut et le bas par $i^{2g-1},$

${\frac {\left(\upsilon +{\dfrac {g}{i}}\right)^{2g-1}}{i^{\lambda +2}\varpi ^{\lambda }\left(\upsilon -1+{\dfrac {g}{i}}\right)^{2g+1}\mu \nu \pi \ldots }},$