la quantité proposée
![{\displaystyle {\frac {(u+f)(u+f-1)(u+f-2)\ldots (u+f-i+2)}{1.2.3\ldots m\times 1.2.3\ldots n\times 1.2.3\ldots p\times \ldots }}\mathrm {F} .\mathrm {A} ^{m}\mathrm {B} ^{n}\mathrm {C} ^{p}\ldots \alpha ^{u-i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/082cb5777e8b22f35e88820c0ce85eea02a56bc6)
deviendra, lorsque ![{\displaystyle i=\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b2edcc7db8c30b98bb4f4156be53a781c772445)
![{\displaystyle \mathrm {F{\sqrt {V}}} \times {\frac {(u+g)^{u}\mathrm {A} ^{m}\mathrm {B} ^{n}\mathrm {C} ^{p}\ldots \alpha ^{u-i}}{(u+g-i)^{u-i}m^{m}n^{n}p^{p}\ldots }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcae3cae566d9bf7dba0a70ca640c7f2f011a89a)
40. Supposons maintenant
![{\displaystyle {\frac {m}{i}}=\mu ,\quad {\frac {n}{i}}=\nu ,\quad {\frac {p}{i}}=\pi ,\ldots \quad {\frac {u}{i}}=\upsilon ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c91a0cfe7f933c13715be12887285cc1f5d1f071)
et l’on aura, à cause de
et ![{\displaystyle am+bn+cp+\ldots =u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e126d4747f49cf940a41a5e86618b8b8f661029)
![{\displaystyle \mu +\nu +\pi +\ldots =1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac565dd406ff7ccc442ab2209811bcab0b0d6444)
![{\displaystyle \mu a+\nu b+\pi c+\ldots =\upsilon ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d284b35d9f7525fd2ec4d6e8708fe50e2c55e283)
d’où l’on voit que les nombres
seront des fractions plus petites que l’unité ; donc, faisant ces substitutions dans l’expression
![{\displaystyle {\frac {(u+g)^{u}\mathrm {A} ^{m}\mathrm {B} ^{n}\mathrm {C} ^{p}\ldots \alpha ^{u-i}}{(u-i+g)^{u-i}m^{m}n^{n}p^{p}\ldots }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd3692d928528caca40086d055c96a17a3c233ac)
elle deviendra, en divisant le haut et le bas par ![{\displaystyle i^{u},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/662fa6bd30137419bff78109ecb29f8f4392828c)
![{\displaystyle \left[{\frac {\left(\upsilon +{\dfrac {g}{i}}\right)^{\upsilon }\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {B} ^{\nu }\mathrm {C} ^{\pi }\ldots \alpha ^{\upsilon -1}}{\left(\upsilon -1+{\dfrac {g}{i}}\right)^{\upsilon -1}\mu ^{\mu }\nu ^{\nu }\pi ^{\pi }\ldots }}\right]^{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fff46574f55c6752e4e891deb486a4e4a777ceeb)
ou bien, en négligeant le terme
qui devient nul lorsque ![{\displaystyle i=\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b2edcc7db8c30b98bb4f4156be53a781c772445)
![{\displaystyle \left[{\frac {\upsilon ^{\upsilon }\alpha ^{\upsilon -1}\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {B} ^{\nu }\mathrm {C} ^{\pi }\ldots }{(\upsilon -1)^{\upsilon -1}\mu ^{\mu }\nu ^{\nu }\pi ^{\pi }\ldots }}\right]^{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9efcef083612d5a4976b8ab8d61a26d795508d5)
Par les mêmes substitutions la quantité
deviendra, en divisant le haut et le bas par ![{\displaystyle i^{2g-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c088c4b6965eba7aed4290a9b5394932ccc24d09)
![{\displaystyle {\frac {\left(\upsilon +{\dfrac {g}{i}}\right)^{2g-1}}{i^{\lambda +2}\varpi ^{\lambda }\left(\upsilon -1+{\dfrac {g}{i}}\right)^{2g+1}\mu \nu \pi \ldots }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12598617f871fb89913865803ea16fe69330b563)