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Si l’on fait $h=c,$ on voit que les quantités, $\alpha ,\beta ,\gamma$ deviennent $a,b,c,$ et par conséquent les deux sphéroïdes reviennent au même ; ce qui doit être pour l’exactitude de nos formules.

5. Imaginons un autre sphéroïde dont les trois demi-axes soient $f,g,h$, et qui soit entièrement semblable à celui dont les trois demi-axes sont $\alpha ,\beta ,\gamma \,;$ il faudra donc que l’on ait

$f={\frac {\alpha h}{\gamma }},\quad g={\frac {\beta h}{\gamma }}\,;$

par conséquent, si l’on substitue pour $\alpha ,\beta ,\gamma$ les valeurs précédentes, on aura

$f={\sqrt {h^{2}+b^{2}-c^{2}}},\quad g={\sqrt {h^{2}+a^{2}-c^{2}}}\,;$

donc

$f^{2}-h^{2}=b^{2}-c^{2},\quad g^{2}-h^{2}=a^{2}-c^{2}\,;$

et par conséquent aussi

$f^{2}-g^{2}=b^{2}-a^{2}.$

Donc, si le sphéroïde donné dont les trois demi-axes sont $a,b,c,$ et le sphéroïde dont les demi-axes sont $f,g,h$ sont supposés décrits autour du même centre, et en sorte que leurs axes respectifs soient placés dans les mêmes lignes, les coupes elliptiques de l’un et de l’autre sphéroïde faites par un plan passant par deux axes auront le même centre et les mêmes foyers, par les propriétés connues des sections coniques.

6. Par les formules du n^o 1 on voit que l’attraction sur un point placé à l’extrémité du demi-axe ${\sqrt {k}}$ (en faisant $c={\sqrt {k}}$ ou $g=1$) est proportionnelle à ${\sqrt {k}}$ tant que les quantités $m$ et $n$ demeurent les mêmes ; donc (4) l’attraction de deux sphéroïdes semblables sur des points placés aux extrémités de leurs axes respectifs est proportionnelle à ces axes. Donc l’attraction du sphéroïde, dont les axes sont $2f,2g,2h$ sur un point placé à l’extrémité de l’axe $2h,$ est à l’attraction du sphéroïde semblable, dont les axes sont $2\alpha ,2\beta ,2\gamma$ sur un point placé à l’extrémité