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auxquels les coordonnées $x,y,z$ sont supposées parallèles, sont ${\sqrt {\frac {k}{m}}},{\sqrt {\frac {k}{n}}},$${\sqrt {k}}\,;$ nommant donc ces demi-axes $a,b,c,$ on aura

$k=c^{2},\quad m={\frac {c^{2}}{a^{2}}},\quad n={\frac {c^{2}}{b^{2}}},$

et désignant par $h$ la distance du point attiré au centre du sphéroïde, distance que nous avons nommée plus haut $c,$ on aura (1)

$g^{2}={\frac {c^{2}}{h^{2}}}\,;$

donc, substituant ces valeurs dans les formules du n^o 2, on aura

$\mu ={\frac {h^{2}}{h^{2}+a^{2}-c^{2}}},\ \ \nu ={\frac {h^{2}}{h^{2}+b^{2}-c^{2}}},\ \ \chi ={\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{\left(h^{2}+a^{2}-c^{2}\right)\left(h^{2}+b^{2}-c^{2}\right)}}\,;$

donc, si l’on nomme de même $\alpha ,\beta ,\gamma$ les trois demi-axes correspondants du sphéroïde représenté par l’équation

$z^{2}+\mu x^{2}+\nu y^{2}=\chi ,$

et qui sont ${\sqrt {\frac {\chi }{\mu }}},{\sqrt {\frac {\chi }{\nu }}},{\sqrt {\chi }},$ on aura, en substituant les valeurs précédentes de $\mu ,\nu ,\chi ,$

${\begin{aligned}\alpha =&{\frac {abc}{h{\sqrt {h^{2}+b^{2}-c^{2}}}}},\\\beta =&{\frac {abc}{h{\sqrt {h^{2}+a^{2}-c^{2}}}}},\\\gamma =&{\frac {abc}{h{\sqrt {h^{2}+a^{2}-c^{2}}}{\sqrt {h^{2}+b^{2}-c^{2}}}}}.\end{aligned}}$

Donc, si l’on a un sphéroïde elliptique dont les trois demi-axes soient $a,b,c,$ l’attraction de ce sphéroïde sur un point placé dans le prolongement d’un de ces axes comme $c,$ à la distance $h$ du centre, sera égale à l’attraction qu’un autre sphéroïde dont les trois demi-axes seraient $\alpha ,\beta ,\gamma$ exercerait sur un point placé à l’extrémité du demi-axe $\gamma .$