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sion de chercher si le Théorème de M. Maclaurin concernant l’attraction d’un ellipsoïde sur un point quelconque placé dans le prolongement de l’un de ses trois axes ne pourrait pas se déduire des formules que j’ai données dans ce Mémoire ; et je crois que les Analystes verront avec plaisir avec combien de facilité on peut parvenir par ces formules à la démonstration du Théorème dont il s’agit.

1. Soit un sphéroïde elliptique représenté par l’équation

$z^{2}+mx^{2}+ny^{2}=k,$

nous avons trouvé dans le n^o 14 du Mémoire cité que l’attraction de ce sphéroïde sur un point placé hors de lui, dans le prolongement de l’axe des coordonnées $z$ (qui est en même temps un des axes du sphéroïde), et à la distance $c$ du centre, est exprimée par l’intégrale de la formule

${\frac {4dq}{1-m}}\left({\sqrt {k}}-{\sqrt {\frac {mc^{2}}{1-m}}}\times \operatorname {arc} \,\operatorname {tang} {\frac {\sqrt {k}}{\sqrt {\dfrac {mc^{2}}{1-m}}}}\right),$

en supposant qu’on mette dans cette formule $m\cos ^{2}q+n\sin ^{2}q$ à la place de $m,$ et qu’ensuite on prenne l’intégrale depuis $q=0$ jusqu’à $q=180^{\circ }\,;$ et comme les valeurs de $\sin ^{2}q$ et $\cos ^{2}q$ reviennent les mêmes dans le second quart de cercle, on pourra se contenter de prendre l’intégrale depuis $q=0$ jusqu’à $q=90^{\circ },$ et de la doubler.

Donc, si l’on fait pour plus de simplicité ${\frac {\sqrt {k}}{c}}=g,$ et qu’on écrive $m'$ à la place de $m$ en sorte qu’on ait $m'=m\cos ^{2}q+n\sin ^{2}q,$ l’attraction dont il s’agit sera exprimée par l’intégrale prise depuis $q=0$ jusqu’à $q=90^{\circ }$ de la formule

${\frac {8dq{\sqrt {k}}}{1-m'}}\left(1-{\frac {1}{g}}{\sqrt {\frac {m'}{1-m'}}}\times \operatorname {arc} \,\operatorname {tang} {\frac {g}{\sqrt {\dfrac {m'}{1-m'}}}}\right).$