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énoncé sans démonstration, est en effet très-vrai. Pour le faire voir, je reprends l’équation de la page 236 de mon sixième volume

$c^{2}-{\frac {b^{2}}{1+\sin ^{2}\mathrm {Z} {\dfrac {b^{2}-a^{2}}{a^{2}}}}}=\mathrm {C} ^{2}-\mathrm {\frac {B^{2}}{1+\sin ^{2}Z'{\dfrac {B^{2}-A^{2}}{A^{2}}}}} ,$

et j’ajoute au premier membre $b^{2}-c^{2},$ et au second $\mathrm {B^{2}-C^{2}} ,$ qui lui est égal par l’hypothèse, ce qui donne

${\frac {\sin ^{2}\mathrm {Z} }{1+\sin ^{2}\mathrm {Z} {\dfrac {b^{2}-a^{2}}{a^{2}}}}}$

en raison constante avec

$\mathrm {\frac {\sin ^{2}Z'}{1+\sin ^{2}Z'{\dfrac {B^{2}-A^{2}}{A^{2}}}}} .$

De même ajoutant au premier membre $a^{2}-c^{2},$ et au second $\mathrm {A^{2}-C^{2}} ,$ qui lui est égal (hypothèse), et mettant au numérateur $1-\cos ^{2}\mathrm {Z}$ pour $\sin ^{2}\mathrm {Z} ,$ et $1-\cos ^{2}\mathrm {Z} '$ pour $\sin ^{2}\mathrm {Z} ',$ on verra facilement que

${\frac {\cos ^{2}\mathrm {Z} }{1+\sin ^{2}\mathrm {Z} {\dfrac {b^{2}-a^{2}}{a^{2}}}}}$

sera en raison constante avec

$\mathrm {\frac {\cos ^{2}Z'}{1+\sin ^{2}Z'{\dfrac {B^{2}-A^{2}}{A^{2}}}}} ,$

d’où l’on tire aisément le reste de la démonstration par la même méthode que dans les pages 236 et 237.

Il faut encore remarquer, pour la fin de la page 242, Art. 53, que l’équation

$\mathrm {\frac {C^{2}}{B'^{2}}} ={\frac {\delta ^{2}}{\delta ^{2}-c^{2}+b'^{2}}},$

n’a lieu dans la supposition dont il s’agit, qu’en faisant $\delta =\mathrm {C} ,$ parce que $\mathrm {C^{2}-B'^{2}}$ est supposé égal à $c^{2}-b'^{2}\,;$ et qu’ainsi il ne se trouve point, dans cette équation

$\mathrm {C^{2}-B'^{2}} =c^{2}-b'^{2},$

de quantité $\delta$ qui soit différente de $\mathrm {C} .$

Comme il me semble que vous n’avez pas traité dans votre excellent Mémoire le cas du Théorème dont il s’agit, j’ai cru cette remarque digne de vous être communiquée.

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lettre du 15 décembre 1775.

Je suis bien aise que vous ayez trouvé par votre théorie, comme vous me faites l’honneur de me le mander, une démonstration analytique du Théorème de Maclaurin, dont je vous envoyai il y a deux mois la démonstration synthétique. C’est aussi par une voie analytique, dont le détail aurait été trop long dans une lettre, que j’avais trouvé la démonstration de ce Théo-