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Donc faisant

$\mathrm {N} =\left[{\begin{aligned}m&\left(\lambda \sin p\cos q+\mu \sin p\sin q+\nu \cos p\right)^{2}\\&+n\left(\lambda '\ \sin p\cos q+\mu '\ \sin p\sin q+\nu '\ \cos p\right)^{2}\\&+\,\ \ \left(\lambda ''\sin p\cos q+\mu ''\sin p\sin q+\nu ''\cos p\right)^{2}\end{aligned}}\right],$

$\mathrm {M} =\left[{\begin{aligned}&(m\lambda \nu +n\lambda '\nu '+\lambda ''\nu '')\sin p\cos q\\&\quad +(m\mu \nu +n\mu '\nu '+\mu ''\nu '')\sin p\cos q\\&\qquad \qquad \quad +\left(m\nu ^{2}+n\nu '^{2}+\nu ''^{2}\right)\cos p\end{aligned}}\right]\times c'$

$h\ =\left(m\nu ^{2}+n\nu '^{2}+\nu ''^{2}\right)c'^{2}-k=a^{2}+mb^{2}+nc^{2}-h\,;$

on aura

$\mathrm {N} r^{2}+2\mathrm {M} r+h=0\,;$

d’où l’on tire la différence des racines

$r''-r'={\frac {2{\sqrt {\mathrm {M} ^{2}-h\mathrm {N} }}}{\mathrm {N} }},$

valeur qu’il faudra substituer dans les formules différentielles du Problème IV, après quoi on intégrera relativement à $p$ et à $q,$ en observant les règles données dans ce Problème. Mais comme les valeurs ci-dessus de $\mathrm {M}$ et de $\mathrm {N}$ sont presque encore plus compliquées que celles du n^o 12, il s’ensuit que la méthode précédente ne saurait être d’une grande utilité dans la solution du Problème dont il s’agit.

extraits de deux lettres de d’alembert à lagrange.

(Nouveaux Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin, année 1774.)

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lettre du 15 septembre 1775.

La lecture de votre excellent Mémoire sur l’attraction des sphéroïdes elliptiques, inséré dans le volume de 1773, m’a fait revenir un moment sur ce que j’avais donné dans le sixième volume de mes Opuscules, relativement à cette matière, et j’ai trouvé que le Théorème de M. Maclaurin, sur lequel j’avais formé quelques doutes, pages 242 et 243, Art. 54, et qu’il a