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haut et le bas par $x^{x+{\frac {1}{2}}},$

${\frac {1}{{\sqrt {\varpi }}(1-p)^{x+{\frac {1}{2}}}\left({\dfrac {p}{1-p}}\right)^{y}{\sqrt {y}}}}.$

39. Cela posé, puisque

$m+n+p+\ldots =i,$

et

$am+bn+cp+\ldots =u,$

il est clair qu’en supposant $i$ infiniment grand, $m,n,p,\ldots ,u$ le seront aussi, de sorte qu’on aura

$1.2.3\ldots m={\frac {{\sqrt {\varpi }}m^{m+{\frac {1}{2}}}}{e^{m}}},$

et ainsi des autres.

De plus en faisant, pour abréger, $g=f+1$ on aura

${\begin{aligned}&(u+f)(u+f-1)(u+f-2)\ldots (u+f-i+2)\\&\quad ={\frac {(u+g)(u+g-1)(u+g-2)\ldots (u+g-i+1)}{u+g}}\\&\quad ={\frac {(u+g)^{u+g-{\frac {1}{2}}}}{(u+g-i)^{u+g-i+{\frac {1}{2}}}e^{i}}}.\end{aligned}}$

De sorte qu’on aura, lorsque $i=\infty ,$

${\begin{aligned}&{\frac {(u+f)(u+f-1)(u+f-2)\ldots (u+f-i+2)}{1.2.3\ldots m\times 1.2.3\ldots n\times 1.2.3\ldots p\times \ldots }}\\&\quad ={\frac {(u+g)^{u+g-{\frac {1}{2}}}}{\varpi ^{\frac {\lambda }{2}}(u+g-i)^{u+g-i+{\frac {1}{2}}}m^{m+{\frac {1}{2}}}n^{n+{\frac {1}{2}}}p^{p+{\frac {1}{2}}}}},\end{aligned}}$

$\lambda$ étant le nombre des quantités $m,n,p,\ldots ,$ c’est-à-dire le nombre des termes de la fonction $\varphi (x).$

Donc, faisant, pour abréger,

$\mathrm {V} ={\frac {(u+g)^{2g-1}}{\varpi ^{\lambda }(u+g-i)^{2g+1}mnp\ldots }},$