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coordonnées $x',y',z',$ on aura pareillement

${\begin{aligned}a=&\lambda \ \,a'+\mu \ \ b'+\nu \ \ c',\\b=&\lambda '\,a'+\mu '\,b'+\nu '\,c',\\c=&\lambda ''a'+\mu ''b'+\nu ''c'\,;\end{aligned}}$

et ces équations serviront à déterminer les trois restantes des neuf quantités $\lambda ,\mu ,\ldots .$

Supposons maintenant que l’on ait $a'=0$ et $b'=0,$ pour que le point attiré se trouve dans l’axe même des coordonnées $c'\,;$ et l’on aura

$a=\nu c',\quad b=\nu 'c',\quad c=\nu ''c'',$

d’où l’on tire

$\nu ={\frac {a}{c'}},\quad \nu '={\frac {b}{c'}},\quad \nu ''={\frac {c}{c'}}.$

Ensuite on déterminera les autres quantités $\lambda ,\lambda ',\lambda '',\mu ,\mu ',\mu ''$ par les six équations ci-dessus.

On substituera donc à la place de $x,y,z$ les expressions ci-dessus dans l’équation

$z^{2}+mx^{2}+ny^{2}=k\,;$

ensuite il faudra mettre (6) à la place des nouvelles coordonnées $x',y',z'$ les quantités $r\sin p\cos q,\ r\sin p\sin q,\ c'+r\cos p\,;$ et l’on aura l’équation

$\left.{\begin{aligned}&m\left[\lambda \ \ r\sin p\cos q+\mu \ \ r\sin p\sin q+\nu \ \ (c'+r\cos p)\right]^{2}\\+&\ n\left[\lambda '\ r\sin p\cos q+\mu '\ r\sin p\sin q+\nu '\ (c'+r\cos p)\right]^{2}\\+&\quad \left[\lambda ''r\sin p\cos q+\mu ''r\sin p\sin q+\nu ''(c'+r\cos p)\right]^{2}\end{aligned}}\right\}=k,$

laquelle, étant ordonnée par rapport à $r,$ deviendra

$\left[{\begin{aligned}&m\left[\lambda \ \ r\sin p\cos q+\mu \ \ r\sin p\sin q+\nu \ \ (c'+r\cos p)\right]^{2}\\+&\ n\left[\lambda '\ r\sin p\cos q+\mu '\ r\sin p\sin q+\nu '\ (c'+r\cos p)\right]^{2}\\+&\quad \left[\lambda ''r\sin p\cos q+\mu ''r\sin p\sin q+\nu ''(c'+r\cos p)\right]^{2}\end{aligned}}\right]\times r^{2}$

$+\left[{\begin{aligned}&m\nu \ \ \left[\lambda \ \ r\sin p\cos q+\mu \ \ r\sin p\sin q+\nu \ \ (c'+r\cos p)\right]^{2}\\+&n\ \nu '\ \left[\lambda '\ r\sin p\cos q+\mu '\ r\sin p\sin q+\nu '\ (c'+r\cos p)\right]^{2}\\+&\quad \nu ''\left[\lambda ''r\sin p\cos q+\mu ''r\sin p\sin q+\nu ''(c'+r\cos p)\right]^{2}\end{aligned}}\right]\times 2c'r$

$+\left(m\nu ^{2}+n\nu '^{2}+\nu ''^{2}\right)c'^{2}-k=0.$