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Il ne reste donc qu’à chercher l’intégrale de la troisième formule différentielle, et comme on peut intégrer d’abord suivant $q,$ on aura, en exécutant cette intégration, et complétant l’intégrale en sorte qu’elle commence au point où $q=0$ et qu’elle finisse à celui où $q=180^{\circ },$ on aura, dis-je, la formule

${\frac {2{\sqrt {k-\left(k-mk+mc^{2}\right)u^{2}}}udu}{1-(1-m)u^{2}}}\times 180^{\circ }.$

Ainsi il ne s’agira plus que d’intégrer la quantité

${\frac {2{\sqrt {k-\left(k-mk+mc^{2}\right)u^{2}}}udu}{1-(1-m)u^{2}}},$

et pour cela on fera

${\sqrt {k-\left(k-mk+mc^{2}\right)u^{2}}}=t,$

ce qui donne

$u^{2}={\frac {k-t^{2}}{k-mk+mc^{2}}},$

moyennant quoi la différentielle proposée se transforme en celle-ci

$-{\frac {2t^{2}dt}{mc^{2}+(1-m)t^{2}}}=-{\frac {2}{1-m}}\left(dt-{\frac {\dfrac {mc^{2}}{1-m}}{{\dfrac {mc^{2}}{1-m}}+t^{2}}}dt\right),$

dont l’intégrale est évidemment

$-{\frac {2}{1-m}}\left(t-{\sqrt {\frac {mc^{2}}{1-m}}}\times \operatorname {arc} \,\operatorname {tang} {\frac {t}{\sqrt {\dfrac {mc^{2}}{1-m}}}}\right)\,;$

pour compléter cette intégrale il faut se ressouvenir qu’elle doit s’étendre depuis $p=\alpha$ jusqu’à $p=-\alpha \,;$ et pour éviter toute erreur il conviendra de chercher à part les deux portions qui s’étendent, l’une depuis $p=0$ jusqu’à $p=-\alpha$ et que nous dénoterons par $\mathrm {A} ,$ l’autre depuis $p=0$ jusqu’à $p=-\alpha$ et que nous dénoterons par $\mathrm {B} \,;$ et la somme $\mathrm {A+B}$ sera l’intégrale complète cherchée. Or en faisant $p=0$ on a $u=0,$ donc