Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/643

équation d’où l’on tirera les deux valeurs extrêmes de $p,$ ou plutôt de $\sin p$ ou de $\cos p,$ lesquelles détermineront l’étendue qu’il faudra donner aux intégrales dont il s’agit. On intégrera enfin relativement à $q,$ et pour avoir les valeurs extrêmes de $q$ il n’y aura qu’à chercher les conditions qui donnent des racines égales à l’équation

$\mathrm {M} ^{2}-h\mathrm {N} =0,$

ordonnée relativement $\sin p$ ou $\cos p\,;$ connaissant ces valeurs, on s’en servira pour compléter les dernières intégrales.

13. Corollaire I. — Considérons le cas d’un sphéroïde de révolution auquel on a $m=n\,;$ on aura donc

${\begin{aligned}\mathrm {M} =&c\cos p+m\sin p(a\cos q+b\sin q),\\\mathrm {N} =&\cos ^{2}p+m\sin ^{2}p.\end{aligned}}$

Supposons de plus qu’on cherche seulement l’attraction du sphéroïde pour un point quelconque de son axe de révolution ; il faudra faire $a=0,b=0,$ et l’on aura simplement

$\mathrm {M} =c\cos p\,;$

d’où l’on voit que l’équation

$\mathrm {M} ^{2}-h\mathrm {N} =0$

ne renfermera point l’angle $q,$ et qu’ainsi les intégrations relatives à $p$ et $q$ seront indépendantes l’une de l’autre, en sorte qu’il sera libre de commencer par celle des deux qu’on voudra ; de plus, l’intégration relative à $q$ devra s’étendre (5, 1^o) depuis $q=0$ jusqu’à $q=180^{\circ }.$

Faisant pour plus de simplicité $\sin p=u,$ on aura, à cause de $h=c^{2}-k,$

${\begin{aligned}\mathrm {M} ^{2}-h\mathrm {N} =&c^{2}\left(1-u^{2}\right)-h\left(1-u^{2}\right)-mhu^{2}\\=&c^{2}-h-\left(c^{2}-h+mh\right)u^{2}\\=&k-\left[k+m\left(c^{2}-k\right)\right]u^{2},\end{aligned}}$