infiniment grand, on a, sans erreur sensible,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\log 1+\log 2+\log 3+\ldots \log x=&\left(x+{\frac {1}{2}}\right)\log x-x+{\frac {1}{2}}\log \varpi \\=&\left(x+{\frac {1}{2}}\right)\log x-\log e^{x}+{\frac {1}{2}}\log \varpi ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f9c53f959660e9ff117efeb866899823f83cc38)
d’où, en passant des logarithmes aux nombres, on tire dans la même hypothèse
![{\displaystyle 1.2.3\ldots x={\frac {{\sqrt {\varpi }}x^{x+{\frac {1}{2}}}}{e^{x}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/097d544f8a818b610c3340b378f38bffccaf19c4)
On a de plus, en général, quels que soient
et ![{\displaystyle y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99bd9829c9ef4adcb0f9f5d53b27463a873a8e88)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\log x&+\log(x-1)+\log(x-2)+\ldots +\log(x-y+1)\\=&\left(x+{\frac {1}{2}}\right)\log x-x+{\frac {1}{12x}}-{\frac {1}{360x^{3}}}+\ldots \\&-\left(x-y+{\frac {1}{2}}\right)\log(x-y)+x-y-{\frac {1}{12(x-y)}}+{\frac {1}{360(x-y)^{3}}}+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab6679b73b5e86b754cbcef5ddf7d5bd3039c432)
de sorte qu’en supposant
et
infiniment grands, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\log x&+\log(x-1)+\log(x-2)+\ldots +\log(x-y+1)\\=&\left(x+{\frac {1}{2}}\right)\log x-\left(x-y+{\frac {1}{2}}\right)\log(x-y)-y,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81ff41a8db1814f0f567791caf3d15fed74b4bfe)
et par conséquent, en passant des logarithmes aux nombres,
![{\displaystyle x(x-1)(x-2)\ldots (x-y+1)={\frac {x^{x+{\frac {1}{2}}}e^{-f}}{(x-y)^{x-y+{\frac {1}{2}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/047b3b6a352583c5d31c62a77db642448d621e5d)
De là il s’ensuit, pour le dire en passant, que le coefficient du
ième terme du binôme élevé à la puissance
sera, lorsque
et
sont très-grands,
![{\displaystyle {\frac {x^{x+{\frac {1}{2}}}}{{\sqrt {\varpi }}\times (x-y)^{x-y+{\frac {1}{2}}}\times y^{y+{\frac {1}{2}}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/915f40ad1274d6526b0ce73109ab1835d76ffd59)
de sorte qu’en faisant
ce coefficient deviendra, en divisant le