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Soit de plus

${\frac {1-m}{m}}=\mu ^{2}\quad {\text{et}}\quad u={\frac {t}{\mu }},$

on aura

${\frac {\left(1-u^{2}\right)du}{m+(1-m)u^{2}}}={\frac {\left(m^{2}-t^{2}\right)dt}{m\mu ^{3}\left(1+t^{2}\right)}}={\frac {1+\mu ^{2}}{m\mu ^{2}}}{\frac {dt}{1+t^{2}}}-{\frac {dt}{m\mu ^{3}}},$

et

${\frac {u^{2}du}{m+(1-m)u^{2}}}={\frac {t^{2}dt}{m\mu ^{3}\left(1+t^{2}\right)}}={\frac {dt}{m\mu ^{3}}}-{\frac {dt}{m\mu ^{3}\left(1+t^{2}\right)}}.$

Or comme on doit intégrer ces formules en sorte que l’intégration commence lorsque $p=0$ et finisse lorsque $p=180^{\circ },$ il faudra, à cause de $t=\mu u=\mu \cos p,$ faire en sorte que chaque intégrale soit nulle lorsque $t=\mu ,$ et complète lorsque $t=-\mu \,;$ c’est pourquoi on aura

$\int dt=t-\mu ,\quad \int {\frac {dt}{1+t^{2}}}=\operatorname {arc} \,\operatorname {tang} t-\operatorname {arc} \,\operatorname {tang} \mu ,$

et faisant ensuite $t=-\mu ,$

$\int dt=-2\mu ,\quad \int {\frac {dt}{1+t^{2}}}=-2\operatorname {arc} \,\operatorname {tang} \mu .$

Donc l’intégrale complète de ${\frac {\sin ^{3}pdp}{\mathrm {N} }}$ sera

${\frac {2\left(1+\mu ^{2}\right)}{m\mu ^{3}}}\operatorname {arc} \,\operatorname {tang} \mu -{\frac {2}{m\mu ^{2},}}$

et celle de ${\frac {\sin p\cos ^{2}pdp}{\mathrm {N} }}$ sera

${\frac {2}{m\mu ^{2}}}-{\frac {2\operatorname {arc} \,\operatorname {tang} \mu }{m\mu ^{3}}}\,;$

donc enfin on aura

${\begin{aligned}\mathrm {B} =&\mathrm {F} =\left({\frac {1+\mu ^{2}}{m\mu ^{3}}}-\operatorname {arc} \,\operatorname {tang} \mu -{\frac {1}{m\mu ^{2}}}\right)\times 180^{\circ },\\\mathrm {G} =&\left({\frac {1}{m\mu ^{2}}}-{\frac {\operatorname {arc} \,\operatorname {tang} \mu }{m\mu ^{3}}}\right)\times 360^{\circ }.\end{aligned}}$

2^o Soit $n$ différent de $m,$ ce qui est le cas où le solide est un ellipsoïde dont toutes les coupes sont des ellipses ; dans ce cas le dénominateur $\mathrm {N}$