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axe sur lequel tomberait une perpendiculaire menée du point attiré, un ellipsoïde semblable et semblablement situé, c’est-à-dire ayant le même centre et les mêmes axes, et qui passerait par ce même point de l’axe. Et cette attraction sera toujours proportionnelle à la partie de l’axe comprise entre ce point et le centre du sphéroïde.

10. Corollaire IV. — Il ne s’agit plus que de déterminer les valeurs des quantités $\mathrm {B,F,G} ,$ c’est-à-dire des intégrales de ces formules

${\frac {\sin ^{3}p\cos ^{2}qdpdq}{\mathrm {N} }},\quad {\frac {\sin ^{3}p\sin ^{2}qdpdq}{\mathrm {N} }},\quad {\frac {\sin p\cos ^{2}pdpdq}{\mathrm {N} }}\,;$

$\mathrm {N}$ étant (6) égal à

$\cos ^{2}p+m\sin ^{2}p\cos ^{2}q+n\sin ^{2}p\sin ^{2}q.$

Pour y parvenir il convient de distinguer deux cas, suivant que $m$ est égal à $n$ ou non.

Supposons :

1^o Qu’on ait $m=n,$ ce qui est le cas d’un sphéroïde elliptique de révolution (numéro précédent), on aura alors

$\mathrm {N} =\cos ^{2}p+m\sin ^{2}p,$

en sorte que l’angle $q$ disparaîtra du dénominateur.

Qu’on intègre donc en premier lieu suivant $q,$ et l’on trouvera que, l’intégrale des trois formules précédentes, prise en sorte qu’elle soit nulle lorsque $q=0,$ et complète lorsque $q=180^{\circ },$ sera

${\frac {\sin ^{3}pdp}{\mathrm {N} }}\times 90^{\circ },\quad {\frac {\sin ^{3}pdp}{\mathrm {N} }}\times 90^{\circ },\quad {\frac {\sin p\cos ^{2}pdp}{\mathrm {N} }}\times 180^{\circ }\,;$

où l’on voit que les deux premières quantités sont les mêmes, en sorte qu’on aura nécessairement $\mathrm {B=F} .$

Pour pouvoir intégrer une seconde fois en faisant varier $p,$ on supposera $\cos p=u,$ ce qui donne

$\mathrm {N} =m+(1-m)u^{2}$

et

${\frac {\sin ^{3}pdp}{\mathrm {N} }}=-{\frac {\left(1-u^{2}\right)du}{m+(1-m)u^{2}}},\quad {\frac {\sin p\cos ^{2}pdp}{\mathrm {N} }}=-{\frac {u^{2}du}{m+(1-m)u^{2}}}.$