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la place de $x,y,z$ leurs valeurs en $r,p,q,$ savoir (4)

$x=a+r\sin p\cos q,\quad y=b+r\sin p\sin q,\quad z=c+r\cos p,$

on aura l’équation

$(c+r\cos p)^{2}+m(a+r\sin p\cos q)^{2}+n(b+r\sin p\sin q)^{2}=k,$

et ordonnant les termes par rapport à $r,$

$\left(\cos ^{2}p+m\sin ^{2}p\cos ^{2}q+n\sin ^{2}p\sin ^{2}q\right)r^{2}$

$+2(c\cos p+ma\sin p\cos q+nb\sin p\sin q)r+\left(c^{2}+ma^{2}+nb^{2}-k\right)=0,$

c’est-à-dire

${\begin{aligned}r^{2}+&{\frac {2(c\cos p+ma\sin p\cos q+nb\sin p\sin q)}{\cos ^{2}p+m\sin ^{2}p\cos ^{2}q+n\sin ^{2}p\sin ^{2}q}}r\\&\quad +{\frac {c^{2}+ma^{2}+nb^{2}-k}{\cos ^{2}p+m\sin ^{2}p\cos ^{2}q+n\sin ^{2}p\sin ^{2}q}}=0,\end{aligned}}$

équation dont les racines seront $r'$ et $r''\,;$ mais nous n’aurons pas même besoin de la résoudre pour chercher ces racines ; car comme il nous suffit d’avoir leur somme $r'+r'',$ on la connaîtra immédiatement par le coefficient du second terme ; en sorte qu’on aura

$r'+r''=-{\frac {2(c\cos p+ma\sin p\cos q+nb\sin p\sin q)}{\cos ^{2}p+m\sin ^{2}p\cos ^{2}q+n\sin ^{2}p\sin ^{2}q}}\,;$

ainsi, substituant cette valeur dans les expressions précédentes, elles deviendront

${\begin{aligned}&-{\frac {2(\cos p+ma\sin p\cos q+nb\sin p\sin q)\sin ^{2}p\cos qdpdq}{\cos ^{2}p+m\sin ^{2}p\cos ^{2}q+n\sin ^{2}p\sin ^{2}q}},\\&-{\frac {2(\cos p+ma\sin p\cos q+nb\sin p\sin q)\sin ^{2}p\sin qdpdq}{\cos ^{2}p+m\sin ^{2}p\cos ^{2}q+n\sin ^{2}p\sin ^{2}q}},\\&-{\frac {2(\cos p+ma\sin p\cos q+nb\sin p\sin q)\sin p\cos pdpdq}{\cos ^{2}p+m\sin ^{2}p\cos ^{2}q+n\sin ^{2}p\sin ^{2}q}}.\end{aligned}}$

Il ne s’agit donc plus que d’intégrer ces formules en faisant varier les angles $p$ et $q$ chacun en particulier, et prenant chaque intégrale en sorte qu’elle soit nulle lorsque la variable est nulle, et complète lorsque la variable est égale à $180$ degrés (5, 2^o).