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$m,n,p,$ étant des nombres entiers positifs, tels que

$m+n+p+\ldots =i.$

Supposons de plus que la fonction $\psi '(y)$ soit aussi représentée par une suite de termes tels que $\mathrm {F} y^{f}\,;$ et multipliant la quantité précédente par $\mathrm {F} y^{f}\,;$ on aura pour un terme quelconque de la valeur de $\varphi (\alpha y)^{i}\psi '(y),$ l’expression

${\frac {1.2.3\ldots i\times \mathrm {F} .\mathrm {A} ^{m}\mathrm {B} ^{n}\mathrm {C} ^{p}\ldots \alpha ^{\mu }}{1.2.3\ldots m\times 1.2.3\ldots n\times 1.2.3\ldots p\times \ldots }}y^{u+f},$

en faisant pour plus de simplicité

$ma+nb+pc+\ldots =u.$

Donc, différentiant cette quantité $i-1$ fois, en faisant $y$ variable et $dy$ constant, et divisant ensuite par $1.2.\ldots i.\alpha ^{i}dy^{i-1},$ on aura pour la valeur d’un terme quelconque de

${\frac {1}{1.2.3\ldots i.\alpha ^{i}}}{\frac {d^{i-1}\left[\varphi (\alpha y)^{i}\psi '(y)\right]}{dy^{i-1}}},$

après y avoir fait $y=1,$ la quantité

${\frac {(u+f)(u+f-1)(u+f-2)\ldots (u+f-i+2)}{1.2.3\ldots m\times 1.2.3\ldots n\times 1.2.3\ldots p\times \ldots }}\mathrm {F} .\mathrm {A} ^{m}\mathrm {B} ^{n}\mathrm {C} ^{p}\ldots \alpha ^{u-i}.$

Ainsi la difficulté se réduit maintenant à voir ce que cette quantité devient lorsqu’on suppose $i$ infiniment grand.

38. Pour cet effet, je remarque que l’on a, en prenant $\varpi$ pour le rapport de la circonférence au rayon,

${\begin{aligned}\log 1&+\log 2+\log 3+\log 4+\ldots \log x\\=&\left(x+{\frac {1}{2}}\right)\log x-x+{\frac {1}{2}}\log \varpi +{\frac {1}{12x}}-{\frac {1}{360x^{3}}}+\ldots ,\end{aligned}}$

comme MM. Stirling, Moivre et d’autres Géomètres l’ont démontré (voyez surtout le Calcul différentiel de M. Euler) ; de sorte que, lorsque $x$ est