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trouver directement sans aucun calcul, mais nous avons préféré de la déduire de notre formule générale pour en faire, voir l’usage.

5. Remarque. — Supposons maintenant qu’on ait un corps d’une figure finie et continue, dont la surface soit exprimée par une équation entre les coordonnées $x,y,z$ qu’on transformera aisément en une autre entre le rayon $r$ et les angles $p$ et $q,$ et qu’il s’agisse d’intégrer la différentielle $\mathrm {P} \alpha$ en sorte que l’intégrale s’étende à toute la masse du corps ; il faudra faire varier successivement les quantités $r,p,q,$ et intégrer par rapport à chacune d’elles en particulier ; mais pour cela on doit distinguer deux cas suivant que le centre des rayons $r$ est placé au dehors ou au dedans du corps.

1^o Lorsque le centre des rayons est hors du corps, il est clair que les angles $p$ et $q$ ne peuvent augmenter que jusqu’à un certain point ; et l’on trouvera leurs limites en cherchant les points où le rayon $r$ touche la surface du corps, c’est-à-dire où ${\frac {dr}{dp}}=\infty$ et ${\frac {dr}{dq}}=\infty .$ En général, il est visible que puisque le rayon $r$ traverse le corps entier, l’équation qui exprime la surface de ce corps doit donner, pour chaque valeur de $p$ et $q,$ deux valeurs de $r,$ que nous dénoterons par $r'$ et $r'',$ et qui répondent aux deux points de la surface, lesquels sont dans une même ligne droite avec le centre des rayons. On commencera donc par intégrer la différentielle $\mathrm {P} \alpha$ en faisant varier $r$ seul, et l’on prendra l’intégrale en sorte qu’elle commence au point où $r=r'$ et finisse à celui où $r=r'',$ c’est-à-dire qu’on prendra la différencce des intégrales qui répondent à $r=r''$ et à $r=r'\,;$ or il est clair que les points où le rayon $r$ touche la surface du corps sans la couper sont nécessairement ceux où les deux racines $r'$ et $r''$ deviennent égales ; ainsi, faisant $r'=r''$ on aura une équation entre $p$ et $q,$ qui déterminera l’étendue qu’on peut donner à ces angles, et d’où l’on tirera aussi deux valeurs de $p$ en $q,$ que nous dénoterons de même par $p'$ et $p''\,;$ c’est pourquoi il faudra intégrer de nouveau l’intégrale précédente en y faisant varier $p$ seul, et prendre la nouvelle intégrale en sorte qu’elle commence où $p=p'$ et qu’elle finisse où $p=p''\,;$ enfin on fera $p'=p'',$ ce qui donnera une équation en $q$ seul, laquelle