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celui-ci et passant par le centre des rayons. Si l’on dénote par $a,b,c$ les coordonnées rectangles qui déterminent la position arbitraire du centre, il est visible qu’on aura d’abord

$r={\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}}\,;$

ensuite on trouvera facilement

$\sin p={\frac {\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}{r}},\quad \sin q={\frac {y-b}{\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}},$

d’où l’on tire

$x-a=r\sin p\cos q,\quad y-b=r\sin p\sin q,\quad z-c=r\cos p\,;$

et différentiant

${\begin{aligned}dx=&r(\cos p\cos qdp-\sin p\sin qdq)+\sin p\cos qdr,\\dy=&r(\cos p\sin qdp-\sin p\cos qdq)+\sin p\sin qdr,\\dz=&-r\sin pdp+\cos pdr\,;\end{aligned}}$

ce qui donne par la comparaison des termes

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {A} =&r\cos p\cos q,\qquad &\mathrm {B} =&-r\sin p\sin q,\qquad &\mathrm {C} =&\sin p\cos q,&\\\mathrm {D} =&r\cos p\sin q,&\mathrm {E} =&r\sin p\cos q,&\mathrm {F} =&\sin p\sin q,&\\\mathrm {G} =&-r\sin p,&\mathrm {H} =&0,&\mathrm {I} =&\cos p\,&;\end{alignedat}}$

d’où l’on tire d’abord

$\mathrm {BF-CE} =-r\sin ^{2}p,\quad \mathrm {AE-BD} =r^{2}\sin p\cos p\,;$

de sorte qu’à cause de $\mathrm {H} =0,$ on aura

${\begin{aligned}&\mathrm {EI+BFG+CDH-AFH-BDI-CEG=(BF-CE)G+(AE-BD)I} \\&\quad =r^{2}\sin ^{3}p+r^{2}\sin p\cos ^{2}p=r^{2}\sin p\,;\end{aligned}}$

par conséquent on aura, en prenant le signe $+,$

$\alpha =dxdydz=r^{2}\sin pdpdqdr.$

Cette expression de $\alpha$ qui est, comme on voit, assez simple, peut aussi se