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plus avoir lieu ; d’ailleurs, comme $dxdydz$ exprime l’élément de la solidité du corps, il est clair que quelles que soient les variables $p,q,r$ qu’on introduira à la place des variables $x,y,z,$ cet élément ne pourra être représenté que par le produit $dpdqdr$ des trois différences $dp,dq,dr$ multiplié par une fonction quelconque de $p,q,r.$ Je considère donc que dans l’expression du parallélépipède $dxdydz,$ la différence $dz$ doit être prise tandis que $x$ et $y$ demeurent constants ; qu’ensuite la différence $dy$ doit être prise en regardant $x$ et $z$ comme constants, et qu’enfin la différence $dx$ doit être prise en supposant $dy$ et $dz$ nuls ; donc :

1^o Pour avoir la valeur de $dz,$ on fera $dx=0$ et $dy=0,$ ce qui donnera

${\begin{aligned}&\mathrm {A} dp+\mathrm {B} dq+\mathrm {C} dr=0,\\&\mathrm {D} dp+\mathrm {E} dq+\mathrm {F} dr=0,\end{aligned}}$

d’où l’on tirera $dp$ et $dq$ en $dr,$ savoir

$dp=\mathrm {\frac {BF-CE}{AE-BD}} dr,\quad dq=\mathrm {\frac {CD-AF}{AE-BD}} dr,$

et substituant ces valeurs dans l’expression de $dz,$ on aura

$dz=\mathrm {\frac {G(BF-CE)+H(CD-AF)+I(AE-BD)}{AE-BD}} dr.$

2^o Pour avoir la valeur de $dy,$ on fera $dx=0$ et $dz=0,$ ce qui donnera

$dr=0,\quad \mathrm {A} dp+\mathrm {B} dq=0,$

d’où l’on tire

$dp=-{\frac {\mathrm {B} dq}{\mathrm {A} }},$

et substituant ces valeurs dans l’expression de $dy,$ on aura

$dy=\mathrm {\frac {AE-BD}{A}} dq.$

3^o Enfin pour avoir la valeur de $dx,$ on fera $dy=0$ et $dz=0,$ ce qui donne

$dr=0,\quad dq=0,$