pour qu’une série puisse être regardée comme représentant réellement la valeur d’une quantité cherchée, il faut qu’elle soit convergente à son extrémité, c’est-à-dire que ses derniers termes soient infiniment petits, de sorte que l’erreur puisse devenir moindre qu’aucune quantité donnée. Voyons donc comment on pourra reconnaître si cette condition a lieu ou non dans les séries des paragraphes précédents.
Pour rendre notre recherche aussi générale qu’il est possible, nous considéreronsl’équation générale (H) du no 16, savoir
![{\displaystyle \alpha -x+\varphi (x)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e98d3d950d75a75a7d9966ba569796f0a6f650f5)
laquelle donne en général (no 17, formule K)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\psi \left({\frac {x}{\alpha }}\right)=&\psi (y)+{\frac {\varphi (\alpha y)\psi '(y)}{\alpha }}+{\frac {1}{2\alpha ^{2}}}{\frac {d\varphi (\alpha y)^{2}\psi '(y)}{dy}}\\&+{\frac {1}{2.3.\alpha ^{3}}}{\frac {d^{2}\left[\varphi (\alpha y)^{3}\psi '(y)\right]}{dy^{2}}}+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4d3fce2a0c3a5a82908cedd6546f5b9d83eec32)
la variable
devant être faite égale à
après les différentiations.
Soit donc
![{\displaystyle {\frac {1}{1.2.3\ldots i.\alpha ^{i}}}{\frac {d^{i-1}\left[\varphi (\alpha y)^{i}\psi '(y)\right]}{dy^{i-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82d973c005e1a8111284e7df25053615515abab9)
un terme quelconque de cette sériee dont le quantième soit
et supposons que la fonction
soit représentée par une suite quelconque de puissances de
en sorte que l’on ait
![{\displaystyle \varphi (x)=\mathrm {A} x^{a}+\mathrm {B} x^{b}+\mathrm {C} x^{c}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc26f6975144f911d368a3eb22dce2e897c1ac04)
étant des coefficients quelconques, et
des exposants aussi quelconques ; on aura donc de même
![{\displaystyle \varphi (\alpha y)=\mathrm {A} \alpha ^{a}y^{a}+\mathrm {B} \alpha ^{b}y^{b}+\mathrm {C} \alpha ^{c}y^{c}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cafb3fab96118877b24c306e883e5ba6ce88b4ff)
par conséquent un terme quelconque de la puissance
ième de cette quantité, c’est-à-dire de la valeur de
sera, comme on sait,
![{\displaystyle {\frac {1.2.3\ldots i}{1.2.3\ldots m\times 1.2.3\ldots n\times 1.2.3\ldots p\times \ldots }}\mathrm {A} ^{m}\mathrm {B} ^{n}\mathrm {C} ^{p}\ldots (\alpha y)^{am+bn+cp+\ldots },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3015b51b21fca979e031d07d22783e26b731141)