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forces à trois, dirigées suivant les coordonnées $x,y,z,$ et, les représentant par les quantités $\mathrm {X,Y,Z} ,$ on aurait par les principes connus de la Mécanique, au lieu des équations (1), (2), (3) du n^o 8, ces trois-ci

${\begin{aligned}\sum \left({\frac {xd^{2}y-yd^{2}x}{dt^{2}}}\right)\delta m=&\sum (x\mathrm {Y} -y\mathrm {X} )\delta m,\\\sum \left({\frac {zd^{2}x-xd^{2}z}{dt^{2}}}\right)\delta m=&\sum (z\mathrm {X} -x\mathrm {Z} )\delta m,\\\sum \left({\frac {yd^{2}z-zd^{2}y}{dt^{2}}}\right)\delta m=&\sum (y\mathrm {Z} -z\mathrm {Y} )\delta m.\end{aligned}}$

Or, comme

${\begin{aligned}xd^{2}y-yd^{2}x=&d(xdy-ydx),\\zd^{2}x-xd^{2}z=&d(zdx-xdz),\\yd^{2}z-zd^{2}y=&d(ydz-zdy),\end{aligned}}$

il est clair qu’on aura des équations de la même forme que celles dont nous venons de parler, avec cette différence que les quantités $\mathrm {A,B,C}$ ne seront plus constantes, mais auroront ces valeurs

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {A} }{dt}}=\sum (x\mathrm {Y} -y\mathrm {X} )\delta m,\\{\frac {d\mathrm {B} }{dt}}=\sum (z\mathrm {X} -x\mathrm {Z} )\delta m,\\{\frac {d\mathrm {C} }{dt}}=\sum (y\mathrm {Z} -z\mathrm {Y} )\delta m.\end{aligned}}$

De plus, le principe de la conservation des forces vives donnera aussi une équation semblable à l’équation (4) avec cette différence que la quantité $\mathrm {D} ^{2}$ devra être telle, que l’on ait

$d\left(\mathrm {D} ^{2}\right)=\sum (\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz)\delta m.$

Ainsi, quand les quantités $\mathrm {X,Y,Z}$ seront données en $x,y,z,$ on pourra employer les substitutions et les transformations dont nous avons fait usage dans le Problème précédent.

En général, il est clair qu’il n’entrera dans les équations du Problème que les variables $x',y',z',x'',y'',z'',\xi ,\eta ,\zeta$ et $d\psi ,d\varpi ,d\varphi \,;$ mais les six dernières sont des fonctions données des six premières (2 et 4), et