Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/613

et dans le cas de $\Pi =0$ et $\Psi =0,$

$\gamma \Phi {\sqrt {(ph'+qh'')^{2}+(rh''+ph)^{2}+(qh-rh')^{2}}}.$

Ainsi ces vitesses seront constantes ; par conséquent he mouvement de rotâtion du corps autour de chacun des trois axes dont il s’agit sera uniforme.

11. Remarque III. — Nous avons dit dans la Solution ci-dessus que l’équation (4), qui renferme le principe de la conservation des forces vives, pouvait se déduire des équations (1), (2), (3). Pour le démontrer, nous considérerons ces trois équations sous la forme (12) à laquelle nous les avons réduites dans le n^o 8, et prenant les différentielles pour en faire disparaître les constantes $\mathrm {A,B,C} ,$ nous aurons

${\begin{alignedat}{3}\zeta d\lambda +&z'd\mu -z''d\nu +&\lambda d\zeta +&\mu dz'-\nu dz''=&0,\\\eta d\lambda +&y'd\mu -y''d\nu +&\lambda d\eta +&\mu dy'-\nu dy''=&0,\\\xi d\lambda +&x'd\mu -x''d\nu +&\lambda d\xi +&\mu dx'-\nu dx''=&0,\end{alignedat}}$

mais par les formules du n^o 4 on a, en faisant $a=1,a'=1,a''=1,b=0,$

${\begin{alignedat}{3}d\xi =&-x'd\psi -x''d\varphi ,\qquad &dx'=&\xi d\psi +x''d\varpi ,\qquad &dx''=&\xi d\varphi -x'd\varpi ,\\d\eta =&-y'd\psi -y''d\varphi ,&dy'=&\eta d\psi +y''d\varpi ,&dy''=&\eta d\varphi -y'd\varpi ,\\d\zeta =&-z'd\psi -z''d\varphi ,&dz'=&\zeta d\psi +z''d\varpi ,&dz''=&\zeta d\varphi -z'd\varpi ,\end{alignedat}}$

donc substituant ces valeurs, nos trois équations deviendront

${\begin{aligned}&\zeta (d\lambda +\mu d\psi -\nu d\varphi )+z'(d\mu -\lambda d\psi +\nu d\varpi )-z''(d\nu +\lambda d\varphi -\mu d\varpi )=0,\\&\eta (d\lambda +\mu d\psi -\nu d\varphi )+y'(d\mu -\lambda d\psi +\nu d\varpi )-y''(d\nu +\lambda d\varphi -\mu d\varpi )=0,\\&\xi (d\lambda +\mu d\psi -\nu d\varphi )+x'(d\mu -\lambda d\psi +\nu d\varpi )-x''(d\nu +\lambda d\varphi -\mu d\varpi )=0,\\\end{aligned}}$

lesquelles étant ajoutées ensemble après avoir été multipliées respectivement par $\zeta ,\eta ,\xi ,$ par $z',y',x'$ et par $z'',y'',x'',$ donneront, en vertu des formules du n^o 2, ces trois-ci

${\begin{alignedat}{2}d\lambda +&\mu d\psi -&\nu d\varphi =&&0,\\d\mu -&\lambda d\psi +&\nu d\varpi =&&0,\\d\nu +&\lambda d\varphi -&\mu d\varpi =&&0.\end{alignedat}}$