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et l’équation dont il s’agit deviendra après les réductions

${\frac {d\Pi }{(\beta -\gamma )\Psi \Phi }}=dt,$

c’est-à-dire en mettant pour $\Psi$ et $\Phi$ leurs valeurs en $\Pi$ trouvées plus haut,

${\frac {d\Pi }{\sqrt {\left[\beta k^{2}-\mathrm {E} ^{2}-(\beta -\alpha )\Pi ^{2}\right]\left[-\gamma k^{2}+\mathrm {E} ^{2}+(\gamma -\alpha )\Pi ^{2}\right]}}}=dt,$

équation dont le premier membre n’est intégrable, en général, que par la rectification des sections coniques.

10. Remarque II. — Nous avons trouvé dans la solution du Problème précédent que la valeur de

$dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},$

c’est-à-dire le carré du petit espace qu’une particule quelconque du corps parcourt dans l’instant $dt,$ est exprimée par la formule

$(pd\varphi +qd\psi )^{2}+(rd\psi +pd\varpi )^{2}+(qd\varpi -rd\varphi )^{2},$

$p,q,r$ étant les coordonnées rectangles qui déterminent la position de cette particule dans l’intérieur du corps ; donc toute particule ou point du corps dont les coordonnées seront telles, qu’on ait à la fois

$pd\varphi +qd\psi =0,\quad rd\psi +pd\varpi =0,\quad qd\varpi -rd\varphi =0,$

sera en repos pendant un instant ; or ces trois équations donnent

${\frac {q}{p}}=-{\frac {d\varphi }{d\psi }},\quad {\frac {r}{p}}=-{\frac {d\varpi }{d\psi }}\,;$

d’où il est aisé de conclure qu’il y aura nécessairement dans le corps, non pas un seul point immobile à chaque instant, mais une suite de points formant une ligne droite, qui sera par conséquent l’axe de rotation instantanée du corps ; et il est clair que cet axe fera avec les trois