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dit plus haut),

$\lambda =f\Pi +g\Psi +h\Phi ,\quad \lambda =f'\Pi +g'\Psi +h'\Phi ,\quad \nu =f''\Pi +g''\Psi +h''\Phi .$

De plus, si dans les expressions de ${\frac {d\varphi }{dt}},{\frac {d\psi }{dt}},{\frac {d\varpi }{dt}}$ trouvées au commencement de cette Remarque, on substitue pour

$\mathrm {\frac {GH+FL}{\Delta }} ,\quad \mathrm {\frac {LN-G^{2}}{\Delta }} ,\ldots$

leurs valeurs

$\alpha ff'+\beta gg'+\gamma hh',\quad \alpha f'^{2}+\beta g'^{2}+\gamma h'^{2},\ldots ,$

et qu’on y introduise les quantités $\Pi ,\Psi ,\Phi ,$ on trouvera

${\begin{aligned}{\frac {d\varpi }{dt}}=&\alpha f\ \ \Pi +\beta g\ \ \Psi +\gamma h\ \,\Phi ,\\{\frac {d\varphi }{dt}}=&\alpha f'\ \Pi +\beta g'\ \Psi +\gamma h'\ \Phi ,\\{\frac {d\psi }{dt}}=&\alpha f''\Pi +\beta g''\Psi +\gamma h''\Phi .\end{aligned}}$

De là on aura, après les substitutions,

${\begin{aligned}\nu {\frac {d\varphi }{dt}}-\mu {\frac {d\psi }{dt}}=&(\alpha -\beta )(g''f'-g'f'')\Pi \Psi \\+&(\gamma -\alpha )(f''h'-f'h'')\Pi \Phi \\+&(\beta -\gamma )(h''g'\ -h'g'')\Psi \Phi \,;\end{aligned}}$

c’est-à-dire par les formules du n^o 7

$\nu {\frac {d\varphi }{dt}}-\mu {\frac {d\psi }{dt}}=(\alpha -\beta )h\Pi \Psi +(\gamma -\alpha )g\Pi \Phi +(\beta -\gamma )f\Psi \Phi \,;$

de sorte que l’équation (13) de la solution ci-dessus deviendra

${\frac {fd\Pi +gd\Psi +hd\Phi }{(\beta -\gamma )f\Psi \Phi +(\gamma -\alpha )g\Pi \Phi +(\alpha -\beta )h\Pi \Psi }}=dt.$

Substituons au lieu de $d\Psi$ et $d\Phi$ leurs valeurs tirées des équations

$\mathrm {\Pi ^{2}+\Psi ^{2}+\Phi ^{2}=k^{2},\quad \alpha \Pi ^{2}+\beta \Psi ^{2}+\gamma \Phi ^{2}=E^{2}} ,$

lesquelles donnent

$d\Psi ={\frac {(\gamma -\alpha )\Pi d\Pi }{(\beta -\gamma )\Psi }},\quad d\Phi ={\frac {(\alpha -\beta )\Pi d\Pi }{(\beta -\gamma )\Phi }},$