divise par 
elle deviendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(\mathrm {A} \ +a{\frac {f'}{f}}\ +b{\frac {f''}{f}}\right)\\&\qquad \times \left[\mathrm {A} \left({\frac {f'g''}{fg}}-{\frac {f''g'}{fg}}\right)+a\left({\frac {f''}{f}}-{\frac {g''}{g}}\right)+b\left({\frac {g'}{g}}-{\frac {f'}{f}}\right)\right]\\+&\left(\mathrm {B} {\frac {f'}{f}}\,+a\ \ +c{\frac {f''}{f}}\right)\\&\qquad \times \left[\mathrm {B} \left({\frac {f''}{f}}-{\frac {g''}{g}}\right)+a\left({\frac {f'g''}{fg}}-{\frac {f''g'}{fg}}\right)+c\left({\frac {g'}{g}}-{\frac {f'}{f}}\right)\right]\\+&\left(\mathrm {C} {\frac {f''}{f}}+bf+c{\frac {f'}{f}}\right)\\&\qquad \times \left[\mathrm {C} \left({\frac {g'}{g}}-{\frac {f'}{f}}\right)+b\left({\frac {f'g''}{fg}}-{\frac {f''g'}{fg}}\right)+c\left({\frac {f''}{f}}-{\frac {g''}{g}}\right)\right]=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6a7b0b90f267c49451fe355b069b5a89f66c2c2)
On a donc ainsi deux équations linéaires entre les deux inconnues 
de sorte que les valeurs qu’on trouvera pour ces inconnues seront nécessairement réelles.
Enfin on aura
par conséquent les valeurs de 
et de 
seront aussi réelles.
Il s’ensuit de la démonstration précédente que :
Toute équation du troisième degré réductible à la forme
a nécessairement trois racines réelles, quelles que soient les quantités 
pourvu seulement qu’elles soient réelles.
Comme ce Théorème est assez remarquable, il serait utile d’en chercher une démonstration directe ; mais ce n’est pas ici le lieu de nous occuper de cet objet.
Quant aux valeurs de 
comme on doit avoir par les formules du no 7
il n’y aura qu’à substituer dans cette équation les valeurs de 
et de 
