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Des deux premières de ces équations on tire

$f'={\frac {(\mathrm {A} -\alpha )c-ab}{(\mathrm {B} -\alpha )b-ac}}f,\quad f''={\frac {(\mathrm {A} -\alpha )(\mathrm {B} -\alpha )-a^{2}}{(\mathrm {B} -\alpha )b-ac}}f,$

et ces valeurs étant substituées dans la troisième on aura, après avoir divisé par $f$ et fait disparaître les fractions, cette équation en $\alpha$

$(\alpha -\mathrm {A} )(\alpha -\mathrm {B} )(\alpha -\mathrm {C} )-c^{2}(\alpha -\mathrm {A} )-b^{2}(\alpha -\mathrm {B} )-a^{2}(\alpha -\mathrm {C} )-2abc=0.$

Si l’on traite de même les équations suivantes, on en tire cette autre équation en $\beta$

$(\beta -\mathrm {A} )(\beta -\mathrm {B} )(\beta -\mathrm {C} )-c^{2}(\beta -\mathrm {A} )-b^{2}(\beta -\mathrm {B} )-a^{2}(\beta -\mathrm {C} )-2abc=0.$

Et les trois dernières équations donneront pareillement cette équation en $\gamma$

$(\gamma -\mathrm {A} )(\gamma -\mathrm {B} )(\gamma -\mathrm {C} )-c^{2}(\gamma -\mathrm {A} )-b^{2}(\gamma -\mathrm {B} )-a^{2}(\gamma -\mathrm {C} )-2abc=0.$

D’où il est facile de conclure que les trois quantités $\alpha ,\beta ,\gamma$ seront les racines de cette équation du troisième degré

$(\rho -\mathrm {A} )(\rho -\mathrm {B} )(\rho -\mathrm {C} )-c^{2}(\rho -\mathrm {A} )-b^{2}(\rho -\mathrm {B} )-a^{2}(\rho -\mathrm {C} )-2abc=0,$

savoir

${\begin{aligned}\rho ^{3}-(\mathrm {A+B+C} )\rho ^{2}+&\left(\mathrm {AB+AC+BC} -a^{2}-b^{2}-c^{2}\right)\rho \\&-\mathrm {ABC} +c^{2}\mathrm {A} +b^{2}\mathrm {B} +a^{2}\mathrm {C} -2abc=0.\end{aligned}}$

Or cette équation, étant d’un degré impair, aura nécessairement une racine réelle ; mais je vais démontrer qu’elle les aura par cela même toutes trois réelles.

Pour cet effet je remarque que si l’on prend la racine réelle de l’équation dont il s’agit pour $\alpha ,$ les deux quantités ${\frac {f'}{f}}$ et ${\frac {f''}{f}}$ seront nécessairement réelles, ce qui est évident par les valeurs ci-dessus de ces quantités ; et je vais prouver qu’alors les quantités ${\frac {g'}{g}}$ et ${\frac {g''}{g}},$ ainsi que ${\frac {h'}{h}}$ et ${\frac {h''}{h}}$ seront réelles aussi ; après quoi notre proposition sera démontrée, parce qu’on