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les coefficients $f,g,h,f',g',h',\ldots$

${\begin{aligned}x=&h\mathrm {Z} +h'\mathrm {Y} +h''\mathrm {X} ,\\y=&g\mathrm {Z} \,+g'\mathrm {Y} +g''\mathrm {X} ,\\z=&h\mathrm {Z} +f'\mathrm {Y} +f''\mathrm {X} .\end{aligned}}$

Il faut remarquer que la quantité $f'$ demeure indéterminée ; de sorte qu’on pourra lui donner telle valeur qu’on voudra, sans déroger en rien à la généralité de la solution.

9. Remarque I. — Si l’on tire des trois équations (10) du numéro précédent les valeurs de ${\frac {d\varphi }{dt}},{\frac {d\psi }{dt}},{\frac {d\varpi }{dt}},$ on aura, en faisant, pour abréger,

$\Delta =\mathrm {LMN-2FGH-F^{2}L-G^{2}M-H^{2}N} ,$

ces expressions

${\begin{aligned}{\frac {d\varphi }{dt}}=&\mathrm {\frac {(GH+FL)\lambda +\left(LN-G^{2}\right)\mu -(FG+HN)\nu }{\Delta }} ,\\{\frac {d\psi }{dt}}=&\mathrm {\frac {-(FH+GM)\lambda -(FG+HN)\mu +\left(MN-F^{2}\right)\nu }{\Delta }} ,\\{\frac {d\varpi }{dt}}=&\mathrm {\frac {\left(LM-H^{2}\right)\lambda +(GH+FL)\mu -(FH+GM)\nu }{\Delta }} ,\\\end{aligned}}$

qui, étant substituées dans la seconde des équations (11), la réduiront à cette forme

${\begin{aligned}&\mathrm {{\frac {LM-H^{2}}{\Delta }}\lambda ^{2}+{\frac {LN-G^{2}}{\Delta }}\mu ^{2}+{\frac {MN-F^{2}}{\Delta }}} \nu ^{2}\\&\quad +\mathrm {2{\frac {GH+FL}{\Delta }}\lambda \mu -2{\frac {FH+GM}{\Delta }}\lambda \nu -2{\frac {FG+HN}{\Delta }}\mu \nu =E^{2}} \,;\end{aligned}}$

et cette équation, étant combinée avec cette autre

$\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}=k^{2},$

servira, comme nous l’avons déjà dit, à déterminer $\mu$ et $\nu$ en $\lambda ,$ ou, en général, à déterminer $\lambda ,\mu$ et $\nu$ par une même indéterminée quelconque.