Cela posé, je suppose encore
![{\displaystyle {\begin{aligned}f\ \ z+g\ \ y+h\ \ x=&\mathrm {Z} ,\\f'\ z+g'\,y+h'\ x=&\mathrm {Y} ,\\f''z+g''y+h''x=&\mathrm {X} ,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b47a49ba6ba2c19c083ed031d085e8e3889fba7)
j’aurai d’abord, en ajoutant ensemble les carrés de ces trois équations,
![{\displaystyle z^{2}+y^{2}+x^{2}=\mathrm {Z^{2}+Y^{2}+X^{2}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0247c4939658617f4726ad0301468951d02b1b6)
à cause des relations établies entre les quantités
(2) ; ainsi l’on aura par l’équation (14)
![{\displaystyle \mathrm {Z^{2}+Y^{2}+X^{2}} =n^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29cd64f81a97cf1503dabc523226417193eb3909)
Ensuite l’équation (15) deviendra
![{\displaystyle k\mathrm {Z} =\theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeb0555514f23dd66e52427ca93327a5b97333bd)
Or si l’on cherche la valeur de
on la trouvera égale à
![{\displaystyle {\begin{aligned}&(g'h''-h'g'')(ydx-xdy)+(h'f''-f'h'')(xdz-zdx)\\&\quad +(f'g''-g'f'')(zdy-ydz)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20fc574aafbf46fb9f4d7ffc92a3721ab4a517af)
mais, par les formules du no 7, on aura
![{\displaystyle g'h''-h'g''=f,\quad h'f''-f'h''=g,\quad f'g''-g'f''=h,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39b6f7c74d12aa74b270909ed63eae48d9a16466)
donc l’équation (16) deviendra
![{\displaystyle k(\mathrm {Y} d\mathrm {X} -\mathrm {X} d\mathrm {Y} )=\Theta dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f15b3a95a6bb6e77440f04b8935f384a3a9990a1)
Ainsi l’on a maintenant entre
et
les mêmes équations qu’on a eues ci-dessus entre
dans le cas de
et
avec cette seule différence qu’il y a ici
à la place de
On aura donc sur-le-champ
![{\displaystyle \mathrm {X} ={\frac {\sqrt {k^{2}n^{2}-\theta ^{2}}}{k}}\cos \mathrm {T} ,\quad \mathrm {Y} ={\frac {\sqrt {h^{2}n^{2}-\theta ^{2}}}{k}}\sin \mathrm {T} ,\quad \mathrm {Z} ={\frac {\theta }{k}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6e62aace7881b38d91f125c470d817d75cd761b)
Ayant les valeurs de
on tirera des formules précédentes celles de
et l’on aura (7) par les relations qui doivent avoir lieu entre