Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/599

Soit donc, pour abréger,

$\mathrm {T} =\int {\frac {\mathrm {A} \Theta dt}{\mathrm {A} ^{2}n^{2}-\theta ^{2}}},$

et l’on aura

${\frac {y}{x}}=\operatorname {tang} \mathrm {T} ,$

d’où, à cause de

$x^{2}+y^{2}={\frac {\mathrm {A} ^{2}n^{2}-\theta ^{2}}{\mathrm {A} ^{2}}},$

on tire

$x={\frac {\sqrt {\mathrm {A} ^{2}n^{2}-\theta ^{2}}}{\mathrm {A} }}\cos \mathrm {T} ,\quad y={\frac {\sqrt {\mathrm {A} ^{2}n^{2}-\theta ^{2}}}{\mathrm {A} }}\sin \mathrm {T} .$

Mais, pour ne pas borner notre solution au cas de $\mathrm {B} =0$ et $\mathrm {C} =0,$ je vais résoudre les trois équations (14), (15) et (16) dans toute leur généralité.

Je fais pour cela

$k^{2}=\mathrm {A^{2}+B^{2}+C^{2}}$

et

$f=\mathrm {\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}} ,\quad g=\mathrm {\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}} ,\quad h=\mathrm {\frac {C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}} .$

d’où

$\mathrm {A} =kf,\quad \mathrm {B} =kg,\quad \mathrm {C} =kh\,;$

en sorte qu’on ait

$f^{2}+g^{2}+h^{2}=1,$

et je prends six autres quantités $f',g',h',f'',g'',h'',$ entre lesquelles et les trois quantités $f,g,h$ j’établis les mêmes rapports qu’entre les quantités $x,y,z,$$x',y',z',x'',y'',z''$ du n^o 2, en y supposant

$a=a'=a''=1\quad {\text{et}}\quad b=b'=b''=0\,;$

j’aurai donc aussi entre ces mêmes quantités $f,g,h,f',g',\ldots$ des relations analogues à celles qu’on a trouvées dans le n^o 7 entre $x,y,z,x',y',\ldots ,$ en sorte que prenant à volonté les trois quantités $f,g,f',$ on pourra par leur moyen déterminer les six autres.