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trois inconnues ${\frac {d\varphi }{dt}},{\frac {d\psi }{dt}},{\frac {d\varpi }{dt}},$ et par lesquelles on pourra par conséquent déterminer deux quelconques d’entre elles par la troisième.

Faisons pour plus de simplicité

(10)

$\left\{{\begin{aligned}\lambda =&-\mathrm {F} {\frac {d\varphi }{dt}}\,+\mathrm {G} {\frac {d\psi }{dt}}\,+\mathrm {N} {\frac {d\varpi }{dt}},\\\mu =&\ \ \,\mathrm {M} \ \ {\frac {d\varphi }{dt}}+\mathrm {H} {\frac {d\psi }{dt}}\,-\mathrm {F} {\frac {d\varpi }{dt}},\\\nu =&\ \ \,\mathrm {H} \ \ {\frac {d\varphi }{dt}}\,+\mathrm {L} {\frac {d\psi }{dt}}\ +\mathrm {G} {\frac {d\varpi }{dt}},\end{aligned}}\right.$

et les deux équations dont nous venons de parler pourront se mettre sous cette forme assez simple

(11)

$\left\{{\begin{aligned}&\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}=\mathrm {A^{2}+B^{2}+C^{2}} ,\\&\lambda {\frac {d\varpi }{dt}}+\mu {\frac {d\varphi }{dt}}+\nu {\frac {d\psi }{dt}}=\mathrm {D} ^{2}.\end{aligned}}\right.$

Tirant donc des trois équations ci-dessus les valeurs de ${\frac {d\varphi }{dt}},{\frac {d\psi }{dt}},{\frac {d\varpi }{dt}}$ en $\lambda ,\mu ,\nu ,$ et les substituant dans la seconde des deux équations (11), on aura deux équations en $\lambda ,\mu ,\nu$ à l’aide desquelles on pourra déterminer, par exemple, les valeurs de $\mu$ et $\nu$ en $\lambda \,;$ de sorte qu’il ne restera plus qu’à connaître $\lambda .$

Pour cela je reprends les trois équations (5), (6), (7), lesquelles par l’introduction des quantités $\lambda ,\mu ,\nu$ se réduisent à cette forme

(12)

$\left\{{\begin{aligned}\zeta \lambda +z'\mu -z''\nu \ =&\mathrm {A} ,\\\eta \lambda +y'\mu -y''\nu \,=&\mathrm {B} ,\\\xi \lambda +x'\mu -x''\nu =&\mathrm {C} \,;\end{aligned}}\right.$

et ajoutant ensemble ces équations après les avoir multipliées, la première par $\zeta ,$ la seconde par $\eta ,$ et la troisième par $\xi ,$ j’ai par les formules du n^o 2

$\lambda =\mathrm {A\zeta +B\eta +C} \xi .$

J’aurai de même en multipliant ces équations respectivement par $d\zeta ,d\eta ,d\xi ,$ et les ajoutant ensuite ensemble, en ayant égard aux formules du n^o 4,

$-\mu d\psi +\nu d\varphi =\mathrm {A} d\zeta +\mathrm {B} d\eta +\mathrm {C} d\xi .$