ensuite, à cause de
et
![{\displaystyle {\begin{aligned}dx=&\xi (pd\varphi +qd\psi )-x'(rd\psi +pd\varpi )+x''(qd\varpi -rd\varphi ),\\dy=&\eta (pd\varphi +qd\psi )-y'(rd\psi +pd\varpi )+y''(qd\varpi -rd\varphi ),\\dz=&\zeta (pd\varphi +qd\psi )-z'(rd\psi +pd\varpi )\,+z''(qd\varpi -rd\varphi )\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12f2de9b9994c32670d15a0844cd3202cbacae28)
et enfin
![{\displaystyle {\begin{aligned}xdy-ydx=&-\zeta \ \,\left[qrd\varphi -prd\psi -\left(p^{2}+q^{2}\right)d\varpi \right]\\&+z'\ \left[pqd\psi +\left(p^{2}+r^{2}\right)d\varphi -qrd\varpi \right]\\&-z''\left[pqd\varphi +\left(q^{2}+r^{2}\right)d\psi +prd\varpi \right],\\\\zdx-xdz=&-\eta \ \,\left[qrd\varphi -prd\psi -\left(p^{2}+q^{2}\right)d\varpi \right]\\&+y'\ \left[pqd\psi +\left(p^{2}+r^{2}\right)d\varphi -qrd\varpi \right]\\&-y''\left[pqd\varphi +\left(q^{2}+r^{2}\right)d\psi +prd\varpi \right],\\\\ydz-zdy=&-\xi \,\ \ \left[qrd\varphi -prd\psi -\left(p^{2}+q^{2}\right)d\varpi \right]\\&+x'\ \left[pqd\psi +\left(p^{2}+r^{2}\right)d\varphi -qrd\varpi \right]\\&-x''\left[pqd\varphi +\left(q^{2}+r^{2}\right)d\psi +prd\varpi \right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fbe5889a6c724ac05bc4ab46eb715c5ed9b0c83)
Donc, si l’on multiplie ces trois dernières équations par
qu’ensuite on les intègre par rapport à la caractéristique
en ne faisant varier que les quantités
et regardant les autres comme constantes, et qu’on fasse, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}\sum qr\delta m=\mathrm {F} ,&\sum pr\delta m=\mathrm {G} ,&\sum pq\delta m=\mathrm {H} ,\\\sum \left(q^{2}+r^{2}\right)\delta m=\mathrm {L} ,&\sum \left(p^{2}+r^{2}\right)\delta m=\mathrm {M} ,&\sum \left(p^{2}+q^{2}\right)\delta m=\mathrm {N} ,\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7983133ab9d7e93a1d5c23f7f401c810ff9c0a66)
on aura, en vertu des équations (1), (2), (3) ci-dessus, ces trois-ci
(5)
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