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et l’on trouvera l’expression d’une fonction quelconque de ${\frac {x}{\rho }},$

$\rho \mathrm {\ {\acute {e}}tant\ toujours\ } ={\sqrt[{r}]{\alpha }}=\left({\frac {c}{e}}\right)^{\frac {1}{s-n}},$

dans laquelle mettant successivement les $r$ ou $s-n$ valeurs différentes de $\rho ,$ on aura autant d’expressions différentes qui se rapporteront aux $s-n$ dernières racines de l’équation.

Ainsi l’on aura trois formules dont la première se rapportera à la première racine, la seconde comprendra les $n-1$ racines suivantes, et la troisième renfermera les $s-n$ dernières racines ; de sorte qu’on connaîtra par ce moyen, non-seulement la valeur de chacune des $s$ racines de l’équation proposée, mais aussi une fonction quelconque de chacune de ces racines.

Seconde Solution. — Dans la Solution précédente nous avons considéré deux à deux les termes consécutifs de l’équation proposée ; or, la combinaison des termes qui ne sont pas immédiatement voisins nous donnera encore d’autres Solutions.

Et d’abord il est clair qu’après avoir combiné les deux premiers termes $a-bx,$ comme nous l’avons fait ci-dessus pour avoir la première racine de l’équation, on peut combiner immédiatement le terme $-bx$ avec le dernier $-ex^{s}$ pour avoir les autres racines. Pour cela on regardera donc ces deux termes comme les premiers, en écrivant l’équation ainsi

$b+ex^{s-1}-ax^{-1}-cx^{n-s}=0,$

laquelle, étant comparée à celle de l’Exemple VII, donnera

$\alpha ={\frac {b}{e}},\quad \beta =-{\frac {a}{e}},\quad \gamma =-{\frac {c}{e}},\quad \delta =0,\ldots ,$

$r=s-1,\quad p=-1,\quad q=n-s+1\,;$

de sorte qu’en substituant ces valeurs, on aura l’expression générale d’une fonction quelconque de ${\frac {x}{\rho }},$

$\rho \mathrm {\ {\acute {e}}tant\ } =\alpha ^{\frac {1}{r}}=\left({\frac {b}{e}}\right)^{\frac {1}{s-1}}\,;$