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exprimeront les carrés des distances entre les points $\mathrm {M,M'} ,$ entre les points $\mathrm {M,M''}$ et entre les points $\mathrm {M',M''} \,;$ de sorte que, nommant $h'',h',h$ les carrés de ces distances, on aura

$b={\frac {a'+a''-h}{2}},\quad b'={\frac {a+a''-h'}{2}},\quad b''={\frac {a+a'-h''}{2}}.$

Or si l’on nomme $\varepsilon ,\varepsilon ',\varepsilon ''$ les angles formés au centre des coordonnées par les rayons ${\sqrt {a'}},{\sqrt {a''}},$ par les rayons ${\sqrt {a}},{\sqrt {a'}}$ et par les rayons ${\sqrt {a}},{\sqrt {a''}},$ on aura, par la considération des triangles dont les côtés sont ${\sqrt {a'}},{\sqrt {a''}},{\sqrt {h}},$ ou ${\sqrt {a}},{\sqrt {a''}},{\sqrt {h'}},$ ou ${\sqrt {a}},{\sqrt {a'}},{\sqrt {h''}},$ on aura, dis-je, ces valeurs de $h,h',h''$

${\begin{aligned}h\ \ =&a'+a''-2{\sqrt {a'a''}}\cos \varepsilon ,\\h'\ =&a+a''-2{\sqrt {aa''}}\cos \varepsilon ',\\h''=&a+a'-2{\sqrt {aa'}}\cos \varepsilon ''\,;\end{aligned}}$

donc

$b={\sqrt {a'a''}}\cos \varepsilon ,\quad b'={\sqrt {aa''}}\cos \varepsilon ',\quad b''={\sqrt {aa'}}\cos \varepsilon ''.$

D’où il s’ensuit que si l’on a $b=0,\ b'=0,\ b''=0,$ les trois rayons ${\sqrt {a}},{\sqrt {a'}},{\sqrt {a''}}$ feront nécessairement entre eux des angles droits.

Imaginons maintenant une pyramide triangulaire qui ait ses quatre angles, l’un au centre des coordonnées, les autres aux points $\mathrm {M,M',M''} ,$ il n’est pas difficile de prouver que la solidité de cette pyramide sera exprimée par les coordonnées $x,y,z,x',y',z',\ldots$ de cette manière

${\frac {z(x'y''-y'x'')+z'(yx''-xy'')+z''(xy'-yx')}{6}},$

c’est-à-dire par la formule

${\frac {x\xi +y\eta +z\zeta }{6}}\,;$

par conséquent (2) cette solidité sera égale à ${\frac {\beta }{6}}\,;$ d’où l’on voit que la quantité $\beta$ n’est autre chose que la pyramide dont il s’agit prise six fois. Ainsi cette quantité sera nulle toutes les fois que la pyramide en ques-