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${\begin{aligned}&zdx-xdz\\&=\eta {\frac {\beta (a''b''-bb')d\Psi -\beta (a'b'-bb'')d\Phi +\alpha \left(a'b'^{2}+a''b''^{2}-2bb'b''\right)d\varpi }{\alpha ^{3}}}\\&\quad -y'{\frac {\left(b\beta ^{2}+\alpha b'b''\right)d\Phi +\left(a''\beta ^{2}+\alpha b'^{2}\right)d\Psi +\alpha \beta (a''b''-bb')d\varpi }{\alpha ^{3}}}\\&\quad +y''{\frac {\left(b\beta ^{2}+\alpha b'b''\right)d\Psi +\left(a'\beta ^{2}+\alpha b''^{2}\right)d\Phi -\alpha \beta (a'b'-bb'')d\varpi }{\alpha ^{3}}},\\\\&ydz-zdy\\&=\xi {\frac {\beta (a''b''-bb')d\Psi -\beta (a'b'-bb'')d\Phi +\alpha \left(a'b'^{2}+a''b''^{2}-2bb'b''\right)d\varpi }{\alpha ^{3}}}\\&\quad -x'{\frac {\left(b\beta ^{2}+\alpha b'b''\right)d\Phi +\left(a''\beta ^{2}+\alpha b'^{2}\right)d\Psi +\alpha \beta (a''b''-bb')d\varpi }{\alpha ^{3}}}\\&\quad +x''{\frac {\left(b\beta ^{2}+\alpha b'b''\right)d\Psi +\left(a'\beta ^{2}+\alpha b''^{2}\right)d\Phi -\alpha \beta (a'b'-bb'')d\varpi }{\alpha ^{3}}},\end{aligned}}$

5. Remarque I. — Si l’on regarde les trois quantités $x,y,z$ comme les coordonnées rectangles d’un point $\mathrm {M}$ rapporté à trois axes fixes et perpendiculaires entre eux, et pareillementles quantités $x',y',z'$ comme les coordonnées rectangles d’un autre point $\mathrm {M} '$ rapporté aux mêmes axes, et enfin les quantités $x'',y'',z''$ comme les coordonnées rectangles d’un troisième point $\mathrm {M} ''$ rapporté aussi à ces trois axes, il est visible que les quantités $a,a',a'',$ que nous avons supposées égales à

$x^{2}+y^{2}+z^{2},\quad x'^{2}+y'^{2}+z'^{2},\quad x''^{2}+y''^{2}+z''^{2},$

seront les carrés des distances des points $\mathrm {M,M',M''}$ au point commun d’intersection des trois axes, lequel nous nommerons simplement le centre des coordonnées ; et il est facile de voir de plus que les trois quantités

$a+a'-2b'',\quad a+a''-2b',\quad a'+a''-2b,$

lesquelles, suivant nos hypothèses, sont égales à

${\begin{aligned}&(x\ -x'\ )^{2}+(y\ -y'\ )^{2}+(z\ -z'\ )^{2},\\&(x\ -x'')^{2}+(y\ \,-y'')^{2}+(z\ -z'')^{2},\\&(x'-x'')^{2}+(y'-y'')^{2}+(z'-z'')^{2},\end{aligned}}$