Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/583

donc, faisant les substitutions du numéro précédent et supposant, pour abréger,

$\alpha =a'a''-b^{2},$

on aura

${\begin{aligned}x=&{\frac {\beta \xi +(a''b''-bb')x'+(a'b'-bb'')x''}{\alpha }},\\y=&{\frac {\beta \eta +(a''b''-bb')y'+(a'b'-bb'')y''}{\alpha }},\\z=&{\frac {\beta \zeta +(a''b''-bb')z'+(a'b'-bb'')z''}{\alpha }}.\end{aligned}}$

4. Corollaire III. Si l’on fait varier les quantités$x',y',z',x'',y'',z'',$ en regardant comme constantes les quantités $a',a''$ et $b,$ et qu’on suppose

${\begin{aligned}x''dx'+y''dy'+z''dz'=&d\varpi ,\\\xi dx'\,\ \ +\eta dy'\,\ +\zeta dz'\ \ =&d\varpi ,\\\xi dx''\ \ +\eta dy''\ +\zeta dz''\ =&d\varpi ,\\\end{aligned}}$

on aura, en vertu des équations du Corollaire I, ces six autres-ci

${\begin{alignedat}{4}&x'dx'&+&y'dy'&+&z'dz'&=&0,\\&x''dx''&+&y''dy''&+&z''dz''&=&0,\\&\xi d\xi &+&\eta d\eta &+&\zeta d\zeta &=&0,\\&x'dx''&+&y'dy''&+&z'dz''&=&-d\varpi ,\\&x'd\xi &+&y'd\eta &+&z'd\zeta &=&-d\psi ,\\&x''d\xi &+&y''d\eta &+&z''d\zeta &=&-d\varphi ,\end{alignedat}}$

et à l’aide de ces neuf équations on pourra déterminer les neuf différentielles $d\xi ,d\eta ,d\zeta ,dx',dy',dz',dx'',dy'',dz''$ par des opérations et des réductions semblables à celles du numéro précédent.

Il n’y aura pour cet effet qu’à changer, dans les expressions de $x,y,z$, les quantités $\beta ,b',b'',$ d’abord en $0,-d\varphi ,-d\psi ,$ ensuite en $d\psi ,d\varpi ,0,$ et enfin en $d\varphi ,0,-d\varpi ,$ et l’on aura

${\begin{aligned}d\xi =&{\frac {x'(bd\varphi -a''d\psi )+x''(bd\psi -a'd\varphi )}{\alpha }},\\d\eta =&{\frac {y'(bd\varphi -a''d\psi )+xy'(bd\psi -a'd\varphi )}{\alpha }},\end{aligned}}$