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2. Corollaire I. — Donc, si l’on a entre les neuf quantités précédentes ces six équations

${\begin{alignedat}{2}x^{2}\,\ +y^{2}\ \ +z^{2}\ =&a,&x'x''+y'y''+z'z''=&b\\x'^{2}\,+y'^{2}\ +z'^{2}\,=&a',&x\,x''\ +yy''\ +zz''\ =&b',\\x''^{2}+y''^{2}+z''^{2}=&a'',\qquad &xx'\ \ +yy'\ \ +zz'\ \ =&b'',\end{alignedat}}$

et qu’on fasse, pour abréger,

$\xi =y'z''-z'y'',\quad \eta =z'x''-x'z'',\quad \zeta =x'y''-y'x'',$

$\beta ={\sqrt {aa'a''+2bb'b''-ab^{2}-a'b'^{2}-a''b''^{2}}},$

on aura

$x\xi +y\eta +z\zeta =\beta .$

On aura de plus les équations identiques suivantes

$x'\xi +y'\eta +z'\zeta =0,\quad x''\xi +y''\eta +z''\zeta =0,\quad \xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=a'a''-b^{2},$

${\begin{alignedat}{2}y'\zeta -z'\eta =&bx'-a'x'',\qquad &y''\zeta -z''\eta =&a''x'-bx'',\\z'\xi -x'\zeta =&by'-a'y'',&z''\xi -x''\zeta =&a''y'-by'',\\x'\eta -y'\xi =&bz'-a'z'',&x''\eta -y''\xi =&a''z'-bz'',\end{alignedat}}$

qui sont très-faciles à vérifier par le calcul.

3. Corollaire II. Si l’on prend les trois équations

${\begin{aligned}x\xi \,\ \ +y\eta \ \ +z\zeta \ \ =&\beta ,\\xx'\,+yy'\ +zz'\ =&b'',\\xx''+yy''+zz''=&b',\end{aligned}}$

et qu’on en tire les valeurs des quantités $x,y,z,$ on aura par les formules connues

${\begin{aligned}x=&{\frac {\beta (y'z''-z'y'')+b'(\eta z'-\zeta y')+b''(\zeta y''-\eta z'')}{\xi (y'z''-z'y'')+\eta (z'x''-x'z'')+\zeta (x'y''-y'x'')}},\\\\y=&{\frac {\beta (z'x''-x'z'')+b'(\zeta x'-\xi z')+b''(\xi z''-\zeta x'')}{\xi (y'z''-z'y'')+\eta (z'x''-x'z'')+\zeta (x'y''-y'x'')}},\\\\z=&{\frac {\beta (x'y''-y'x'')+b'(\xi y'-\eta x')+b''(\eta x''-\xi y'')}{\xi (y'z''-z'y'')+\eta (z'x''-x'z'')+\zeta (x'y''-y'x'')}}\,;\end{aligned}}$