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leur de $u\,;$ comme le Problème consiste à faire en sorte que la quantité

$du-pdx-qdy-rdz-\ldots$

soit intégrable ou par elle-même ou étant multipliée par un facteur quelconque, en supposant

$p={\frac {du}{dx}},\quad q={\frac {du}{dy}},\quad r={\frac {du}{dz}},\ldots ,$

il est clair que la condition du Problème sera remplie si $p$ est une fonction de $x$ seul, $q$ de $y$ seul, $r$ de $z$ seul, etc. ; or c’est ce qui aura lieu si l’on fait $\mathrm {X,Y,Z} ,\ldots$ égales à des quantités constantes ; car alors l’équation donnée servira à déterminer une de ces constantes par toutes les autres, en sorte qu’il restera autant de constantes arbitraires, $\beta ,\gamma ,\ldots$ qu’il y aura de variables $x,y,z,\ldots$ moins une. De cette manière on aura

$\mathrm {V} =u-\int pdx-\int qdy-\int rdz-\ldots =\alpha$

pour l’équation qui détermine la valeur particulière de $u\,;$ et, comme cette valeur de $u$ contient les constantes arbitraires $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ on pourra compléter la solution par la méthode exposée ci-dessus.

14. Il est clair qu’on peut généraliser encore le cas précédent, en supposant que $\mathrm {W}$ soit une fonction quelconque de $u,$ et que l’on ait $\mathrm {X}$ égal à une fonction de $\mathrm {W} {\frac {du}{dx}}$ et $x,$ $\mathrm {Y}$ une fonction de $\mathrm {W} {\frac {du}{dy}}$ et $y$, $\mathrm {Z}$ une fonction de $\mathrm {W} {\frac {du}{dz}}$ et $z,\ldots \,;$ car en faisant $\mathrm {X,Y} ,\ldots$ constantes, on aura $p$ égal à une fonction de $x$ seul divisée par $\mathrm {W} ,$ $q$ égal à une fonction de $y$ seul divisée de même par $\mathrm {W} ,\ldots ,$ de sorte que la quantité

$du-pdx-qdy-rdz-\ldots$

étant multipliée par $\mathrm {W}$ deviendra intégrable.