étant égal à
où il faut remarquer que les quantités
peuvent entrer d’une manière quelconque en qualité de constantes dans la fonction
et par conséquent aussi dans la fonction
Maintenant on pourra rendre de même variable la quantité
contenue dans
et
en prenant
![{\displaystyle {\frac {d(\mathrm {V-B} )}{d\gamma }}=f(\gamma ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e1ae24972529154582f03b7fa49f678ed033e85)
ce qui détermine
et substituant ensuite cette valeur de
on aura l’équation
![{\displaystyle \mathrm {V-B-C} =\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d19d477ce4ecd5ca5511e61367fe39af13866e9c)
où
et ainsi de suite.
Par ce moyen l’intégrale incomplète
![{\displaystyle \mathrm {V} =\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d889b3864b203982edec9b123fc99466f4dd506)
deviendra de la forme
![{\displaystyle \mathrm {V-B-C} -\ldots =\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/119d4571a811079ec3c51a8e2efc2bc062d0efb9)
et sera nécessairement complète, puisqu’elle contiendra autant de fonctions arbitraires qu’il y a de variables
moins une[1].
13. Pour faire voir l’usage de cette méthode par un exemple très général, supposons que
soit une fonction de
et
que
en soit une de
et
que
en soit une de
et
et ainsi de suite, et que l’on ait une équation donnée entre
d’où il faille tirer la va-
- ↑ L’analyse qui vient d’être développée conduit assurément à l’intégrale générale de l’équation proposée, mais cette intégrale ne contient pas, comme le dit ici par inadvertance l’illustre Auteur, autant de fonctions arbitraires moins une qu’il y a de variables indépendantes. Dans la formule obtenue par Lagrange, il n’y a en réalité qu’une seule fonction arbitraire,
laquelle dépend des quantités
Si l’on représente cette fonction par
l’intégrale générale de l’équation proposée sera le résultat de l’élimination de
entre l’équation
![{\displaystyle \mathrm {V} =f(\beta ,\gamma ,\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ec13646f1491fcfb53d886e00e667deba2dca5f)
et les suivantes
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {V} }{d\beta }}={\frac {df}{d\beta }},\quad {\frac {d\mathrm {V} }{d\gamma }}={\frac {df}{d\gamma }},\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/899f35a98ed2b98e4972a9ed061dcce0bd7ca0fe)
(Note de l’Éditeur.)