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la solution complète ; car en y regardant de plus près on voit que cette solution remplit presque en entier les conditions de l’équation différentielle, puisqu’on ne peut faire évanouir les deux constantes arbitraires sans tomber dans une équation qui renferme à la fois les différences partielles ${\frac {du}{dx}}$ et ${\frac {du}{dy}}\,;$ en effet, comme il y a deux quantités à éliminer, il faudra avoir trois équations ; ainsi il en faudra encore deux outre la proposée, et ces deux ne peuvent venir que de deux différentiations différentes, l’une en faisant varier $x$ et l’autre en faisant varier $y$.

On peut prouver de la même manière que, si l’on a une fonction $u$ de trois variables $x,y,z,$ laquelle dépende d’une équation différentielle du premier ordre entre $u,x,y,z,$ et ${\frac {du}{dx}},\ {\frac {du}{dy}},\ {\frac {du}{dz}},$ et qu’on ait une valeur particulière de $u,$ laquelle renferme trois constantes arbitraires $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ cette valeur remplira presque en entier les conditions du Problème ; car on ne pourra éliminer les trois constantes qu’au moyen de trois différentiations, l’une relative à $x,$ l’autre à $y$ et la troisième à $z.$

Et ainsi de suite.

12. En général, soit $u$ une fonction de plusieurs variables $x,y,z,\ldots ,$ et soit donnée une équation entre

$u,\ x,\ y,\ z,\ldots ,\quad {\frac {du}{dx}},\ {\frac {du}{dy}},\ {\frac {du}{dz}},\ldots$

par laquelle il faille déterminer la valeur de $u$. Supposons que l’on ait une valeur particulière de $u,$ laquelle renferme les constantes arbitraires $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ dont le nombre soit égal à celui des variables $x,y,z,\ldots \,;$ qu’on en tire la valeur d’une de ces constantes comme $\alpha ,$ en sorte que l’on ait

$\mathrm {V} =\alpha ,$

$\mathrm {V}$ étant une fonction de $u,x,y,z,\ldots$ et de $\beta ,\gamma ,\ldots \,;$ qu’on différentie cette équation, et supposant

$d\mathrm {V} =\mathrm {M} du+\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz+\ldots ,$