Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/571

et divisant ensuite toute la quantité précédente par $v,$ j’ai

${\frac {du}{v}}-rdx-r^{m}\mathrm {XY} dy\,;$

il est clair que cette quantité sera intégrable si l’on fait

$r^{m}\mathrm {X} =\alpha ,$

$\alpha$ étant une constante, car elle deviendra

${\frac {du}{v}}-{\sqrt[{m}]{\frac {\alpha }{\mathrm {X} }}}dx-\alpha \mathrm {Y} dy,$

dont l’intégrale sera

$\mathrm {N} =\int {\frac {du}{v}}-{\sqrt[{m}]{\alpha }}\int {\frac {dx}{\sqrt[{m}]{\mathrm {X} }}}-\alpha \int \mathrm {Y} dy\,;$

de là on tirera donc la valeur de ${\frac {d\mathrm {N} }{d\alpha }},$ qu’on fera égal à $f'(\alpha ),$ et il n’y aura plus qu’à substituer la valeur de $\alpha ,$ qui résultera de cette dernière équation, dans celle-ei

$\mathrm {N} -f(\alpha )=0.$

Remarque. — Si l’on a une équation entre $p,q,u$ et $x,$ on pourra regarder $p$ et $q$ comme des fonctions de $u$ et $x$ seuls, et le Problème rentrera dans le cas où l’équation est entre $p,q,x,y,$ en prenant $y$ à la place de $u,$ $-{\frac {p}{q}}$ à la place de $p,$ et ${\frac {1}{q}}$ à la place de $q\,;$ car il est visible que l’équation

$du-pdx-qdy=0$

peut se mettre aussi sous la forme

$dy+{\frac {pdx}{q}}-{\frac {du}{q}}=0,$

qui résulte de la précédente, en changeant $u$ en $y,$ $p$ en $-{\frac {p}{q}},$ $q$ en ${\frac {1}{q}}.$ Il en sera de même, mutatis mutandis, du cas où l’on aura une équation entre $p,q,u$ et $y.$

9. Les cas que nous venons d’examiner renferment d’une manière générale à peu près tout ce qu’on sait sur l’intégration des équations du