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ce qui donnera une valeur particulière de $p$ qui, contenant la constante arbitraire $\alpha ,$ conduira, à l’aide de notre méthode, à la solution générale du Problème. On aura en effet

$\mathrm {N=Z} -\alpha z,$

d’où

${\frac {d\mathrm {N} }{d\alpha }}=-z=f'(\alpha ),$

et de là

$\mathrm {\mathrm {N} } -f(\alpha )=\mathrm {Z} -\alpha z-f(\alpha )=0.$

D’où l’on voit que $\alpha$ sera une fonction quelconque de $z\,;$ en sorte que l’équation, qui donnera la valeur complète de $u,$ pourra se mettre sous cette forme plus simple

$\mathrm {Z} -f(z)=0.$

Au reste on peut faire ici une remarque analogue à celle qu’on a faite ci-dessus dans la solution du cinquième Cas, dont celui-ci n’est qu’une généralisation.

Neuvième Cas. — Lorsque $q=p^{m}\mathrm {XYU} ,$ $\mathrm {X}$ étant une fonction de $x,$ $\mathrm {Y}$ une fonction de $y$ et $\mathrm {U}$ une fonction de $u.$

Je considère encore immédiatementla quantité

$du-pdx-qdy,$

laquelle, par la substitution de la valeur de $q,$ devient

$du-pdx-p^{m}\mathrm {XYU} dy\,;$

je fais

$p=rv,$

$v$ étant une fonction de $u,$ et j’ai

$du-rvdx-r^{m}v^{m}\mathrm {XYU} dy\,;$

je suppose maintenant $v=v^{m}\mathrm {U} ,$ ce qui donne

$v={\sqrt[{m-1}]{\frac {1}{\mathrm {U} }}},$