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Or, $t=x^{n}\,;$ donc, si l’on met \frac{m}{n} à la place de $m,$ et qu’on fasse, pour abréger,

$\left({\frac {a}{-c}}\right)^{\frac {1}{n}}=\rho ,$

on aura

$x^{m}=$

$\rho ^{m}\left[1-{\frac {mb\rho }{na}}+{\frac {m(m+2-n)b^{2}\rho ^{2}}{2n^{2}a^{2}}}-{\frac {m(m+3-n)(m+3-2n)b^{3}\rho ^{3}}{2.3.n^{3}a^{3}}}+\ldots \right].$

Mais on a, en général

$\rho =\left(\cos {\frac {\lambda \times 360^{\circ }}{n}}+\sin {\frac {\lambda \times 360^{\circ }}{n}}{\sqrt {-1}}\right){\sqrt[{n}]{\frac {a}{-c}}}.$

$\lambda$ étant égal à $1$ ou $2,$ ou $3,$ ou …, jusqu’à $n\,;$ donc, suhstituant cette valeur de $\rho$ dans l’expression précédente, on aura $n$ valeurs différentes de $x^{m},$ qui seront celles de $x_{1}^{m},x_{2}^{m},x_{3}^{m},\ldots ,x_{n}^{m}.$

Problème III.

36. On demande toutes les racines de l’éguation

$a-bx+cx^{n}-ex^{s}=0.$

$n$ et $s$ étant des nombres entiers positifs, et $s>n.$

Première Solution. — 1^o Puisque cette équation peut se rapporter à celle de l’Exemple VI du n^o 21, en faisant

$\alpha ={\frac {a}{b}},\quad \beta ={\frac {c}{b}},\quad \gamma =-{\frac {e}{b}},\quad \delta =0,\ldots ,$

$p=n,\quad q=s-n.$

il n’y aura qu’à faire ces substitutions dans les formules de cet Exemple, et l’on aura sur-le-champ l’expression d’une fonction quelconque de ${\frac {x}{\alpha }},$ où $x$ sera nécessairement la première racine de l’équation proposée (34).