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car, à cause de ${\frac {dp}{du}}=0$ et ${\frac {dq}{du}}=0,$ l’équation de condition est

${\frac {dp}{dy}}-{\frac {dq}{dx}}=0,$

laquelle, en regardant maintenant $x$ et $y$ comme des fonctions de $p$ et q, peut se mettre également sous la forme

${\frac {dx}{dq}}-{\frac {dy}{dp}}=0,$

où $p$ et $q$ ont pris la place de $x$ et $y$, et vice versâ. Ainsi il n’y aura qu’à traiter ces cas de la même manière que les cas analogues résolus ci-dessus, en supposant qu’au lieu de chercher $p$ et $q$ en $x$ et $y,$ on cherche au contraire $x$ et $y$ en $p$ et $q.$

Septième Cas. — Lorsque $q$ est une fonction de $p$ et $u.$

Soit $\mathrm {P}$ une fonction de $p$ et $u,$ en sorte que

$d\mathrm {P} =\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} du,$

et soit

$q=\mathrm {P} ,$

l’équation de condition deviendra

${\frac {dp}{dy}}-\mathrm {P} '{\frac {dp}{dx}}-p\mathrm {P} '{\frac {dp}{du}}-p\mathrm {Q} +\mathrm {P} {\frac {dp}{du}}=0\,;$

il est clair qu’on peut supposer que $p$ soit une fonction de $u$ seul, sans $x$ ni $y,$ ce qui réduira l’équation à celle-ci

$\mathrm {P} 'p{\frac {dp}{du}}+p\mathrm {Q} -\mathrm {P} {\frac {dp}{du}}=0\,;$

or comme $\mathrm {P,P'}$ et $\mathrm {Q}$ sont des fonctions données de $p$ et $u,$ il est clair que l’équation précédente ne sera qu’entre ces deux variables, en sorte qu’elle pourra s’intégrer par les méthodes ordinaires ; ainsi l’on aura $p$ en $u,$ et comme l’intégration introduira une constante arbitraire $\alpha$ dans la valeur de $p,$ on pourra en déduire la valeur générale et complète de $u.$