car, à cause de
et
l’équation de condition est
![{\displaystyle {\frac {dp}{dy}}-{\frac {dq}{dx}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3ed88fd0d6351ceb6dda83073d0c47dbb8dc614)
laquelle, en regardant maintenant
et
comme des fonctions de
et q, peut se mettre également sous la forme
![{\displaystyle {\frac {dx}{dq}}-{\frac {dy}{dp}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ad39c2c10ba28da53c085547601e8de3e7858f9)
où
et
ont pris la place de
et
, et vice versâ. Ainsi il n’y aura qu’à traiter ces cas de la même manière que les cas analogues résolus ci-dessus, en supposant qu’au lieu de chercher
et
en
et
on cherche au contraire
et
en
et ![{\displaystyle q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b77c4dfff8774d73f815f799aa68d83a96d7095)
Septième Cas. — Lorsque
est une fonction de
et
Soit
une fonction de
et
en sorte que
![{\displaystyle d\mathrm {P} =\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} du,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1eadce1df33450b8ef0f9781dae9f521fd3b10f)
et soit
![{\displaystyle q=\mathrm {P} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ade1e796b32284aeadd54a81a994dad9e1802c50)
l’équation de condition deviendra
![{\displaystyle {\frac {dp}{dy}}-\mathrm {P} '{\frac {dp}{dx}}-p\mathrm {P} '{\frac {dp}{du}}-p\mathrm {Q} +\mathrm {P} {\frac {dp}{du}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbdfc453ce3d14e6e86b41918de32b600d34330a)
il est clair qu’on peut supposer que
soit une fonction de
seul, sans
ni
ce qui réduira l’équation à celle-ci
![{\displaystyle \mathrm {P} 'p{\frac {dp}{du}}+p\mathrm {Q} -\mathrm {P} {\frac {dp}{du}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfb9480afa338babb068033276626ef03aed0998)
or comme
et
sont des fonctions données de
et
il est clair que l’équation précédente ne sera qu’entre ces deux variables, en sorte qu’elle pourra s’intégrer par les méthodes ordinaires ; ainsi l’on aura
en
et comme l’intégration introduira une constante arbitraire
dans la valeur de
on pourra en déduire la valeur générale et complète de ![{\displaystyle u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd5636410da69bac33da075162221527401793c)