savoir
![{\displaystyle du-ypdz-(pz+\mathrm {P} )dy=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c69230f29595e4ba04254c815f29970a645fc5ae)
et l’on voit que cette équation peut devenir intégrable en supposant
une fonction de
seul (ce qui rendra pareillement
une fonction de
), pourvu qu’on ait
![{\displaystyle pz+\mathrm {P} =\int pdz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8df6e0de92b6c4666e3703eee3369246217211d3)
savoir
![{\displaystyle pdz=pdz+zdp+d\mathrm {P} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99c39d4463b3835e3da17c13e593b28e18ab1521)
ou bien
![{\displaystyle zdp+d\mathrm {P} =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27bbd01cc7753c18b2407f6c0fc8a4f72e3db7d3)
équation différentielle entre
et
d’où l’on pourra, par l’intégration, tirer la valeur de
en
laquelle contiendra une constante arbitraire
De cette manière on aura, par l’intégration,
![{\displaystyle \mathrm {N} =u-y\int pdz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f023cbe5bda087653020af58152aa393db41e5c8)
et ensuite
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {N} }{d\alpha }}=-y\int {\frac {dp}{d\alpha }}dz=f'(\alpha ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e0b6151acab3269d2ee40830c397e80d8c4344c)
d’où l’on tirera
qu’on substituera ensuite dans l’équation
![{\displaystyle \mathrm {N} -f(\alpha )=u-y\int pdz-f(\alpha )=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/430a3eae7a0e22950d4a04ea42fd52343774521e)
Au reste, comme on doit avoir dans ce cas
étant une fonetion de
et
on pourra le résoudre aussi plus simplement par la Remarque suivante, à l’aide de laquelle on peut le réduire au cinquième Cas ci-dessus.
Remarque. — Tels sont les principaux cas résolubles, en générale, lorsqu’il y a une équation entre
et
sans
et où par conséquent
et
peuvent être des fonctions de
et
seuls ; il faut cependant y ajouter encore ceux dans lesquels il y aura entre ces quatre quantités mêmes équations, mais en échangeant
en
et réciproquement ;