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Or comme on a

$-z=f'(\alpha ),$

il est clair que $\alpha$ sera une fonction quelconque de $z\,;$ de sorte que l’équation qui sert à déterminer $u$ pourra être représentée plus simplement ainsi

$u-\int \mathrm {Y} dy-f(z)=0.$

Au reste on aurait pu voir d’abord par l’équation

${\frac {p}{m}}=\int {\frac {d\mathrm {Y} }{dz}}dy+\alpha$

que la constante $\alpha$ pouvait être une fonction quelconque de $z,$ puisque l’intégrale $\int {\frac {d\mathrm {Y} }{dz}}dy$ est censée prise en faisant varier $y$ seul, et $z$ demeurant constante ; de sorte que la valeur de $p$ étant complète, on aurait eu sur-le-champ par son moyen la valeur complète de $u\,;$ mais nous avons cru qu’il n’était pas inutile de faire voir comment on y pouvait parvenir aussi par le secours de notre méthode, en supposant que la quantité $\alpha$ ne fût regardée d’abord que comme une constante indéterminée.

Sixième Cas. — Lorsqu’il y a entre $p,q,x,y$ une équation telle, que $x$ et $y$ ne remplissent ensemble aucune dimension.

Faisant $x=zy,$ on aura donc une équation entre $p,q,z,$ d’où l’on tirera

$q=\mathrm {P} ,$

$\mathrm {P}$ étant une fonetion de $p$ et $z$ seulement. Or en considérant immédiatement l’équation

$du-pdx-qdy,$

ainsi qu’on l’a fait dans le cas précédent, elle deviendra, par les substitutions,

$du-p(zdy+ydz)-\mathrm {P} dy=0,$