laquelle doit être une différentielle exacte, ou d’elle-même, ou étant multipliée par un facteur convenable
et il est d’abord clair que, comme
est une fonction donnée de
et
si l’on cherche le facteur
qui rendra intégrable la quantité
et qu’on suppose ensuite
![{\displaystyle m(dx+\mathrm {X} dy)=dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e33c612739777d8508b2f6e6b3087c8bdc6c219c)
on aura à rendre intégrable cette quantité plus simple
![{\displaystyle du-{\frac {p}{m}}dz-\mathrm {Y} dy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81b758cc37b205335b7bf2d77ba4d954c92e1c56)
où
est une fonction inconnue, et
une fonction connue de
et de
ou bien de
et de
en substituant à la place de
sa valeur en
et
tirée de l’équation
![{\displaystyle \int m(dx+\mathrm {X} dy)=z\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23f431568786398a886131e5a78b226a6e75a81f)
or on sait que la quantité dont il s’agit sera intégrable si l’on a
![{\displaystyle {\frac {d{\dfrac {p}{m}}}{dy}}={\frac {d\mathrm {Y} }{dz}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/444b677938afe924b9b22cf93f8eb214188f5af1)
ce qui donne, en intégrant suivant ![{\displaystyle y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99bd9829c9ef4adcb0f9f5d53b27463a873a8e88)
![{\displaystyle {\frac {p}{m}}=\int {\frac {d\mathrm {Y} }{dz}}dy+\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11a0282318b83fe0aa6e545de88eec5d655599e9)
étant une constante arbitraire ; ainsi l’on a une valeur particulière de
laquelle donne
![{\displaystyle \mathrm {N} =u-\alpha z-\int \mathrm {Y} dy\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44352130067ed34b2bbc568bcd01d2f6863f1780)
donc
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {N} }{d\alpha }}=-z=f'(\alpha ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66b0f3cf1cd3e85027a88348a48fdda1cdddcbaf)
ce qui servira à déterminer
ensuite de quoi on aura l’équation
![{\displaystyle \mathrm {N} -f(\alpha )=u-\alpha z-\int \mathrm {Y} dy-f(\alpha )=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f07360360d66fc36b3988fee13b08b15587985e5)