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sera intégrable sans aucune préparation ; on aura donc

$\mathrm {N} =u-\int pdx-\int qdy,$

et de là

${\frac {dN}{d\alpha }}=-\int {\frac {dp}{d\alpha }}dx-\int {\frac {dq}{d\alpha }}dy=f'(\alpha )\,;$

d’où l’on tirera la valeur de $\alpha$ pour la substituer dans l’équation $\mathrm {N} -f(\alpha )=0,$ laquelle deviendra donc

$u-\int pdx-\int qdy-f(\alpha )=0.$

Cinquième Cas. — Lorsqu’il y a entre $p,q,x$ et $y$ une équation dans laquelle $p$ et $q$ ne montent qu’à la première dimension.

Soient $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ des fonctions quelconques de $x$ et $y,$ et supposons qu’on ait

$q=p\mathrm {X+Y} \,;$

substituant donc cette valeur dans l’équation de condition, elle deviendra

${\frac {dp}{dy}}-\mathrm {X} {\frac {dp}{dx}}-p{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}-{\frac {d\mathrm {Y} }{dx}}-p\mathrm {X} {\frac {dp}{du}}+(p\mathrm {X} +\mathrm {Y} ){\frac {dp}{du}}=0.$

Il est d’abord clair que si l’on suppose que $p$ ne contienne point $u,$ cette équation se simplifiera beaucoup, car elle deviendra, en faisant pour plus de simplicité ${\frac {d\mathrm {X} }{dx}}=\mathrm {X} '$ et ${\frac {d\mathrm {Y} }{dx}}=\mathrm {Y} ',$

${\frac {dp}{dy}}-\mathrm {X} {\frac {dp}{dx}}-\mathrm {X} 'p-\mathrm {Y} '=0.$

Mais cette équation est encore trop compliquée pour qu’on puisse trouver facilement une valeur particulière de $p$ qui y satisfasse. Considérons donc plutôt la quantité même

$du-pdx-qdy,$

ou bien, en mettant $p\mathrm {X+Y}$ à la place de $q,$

$du-p(dx+\mathrm {X} dy)-\mathrm {Y} dy,$